Vektorrechnung und Kinematik: Grundlagen der Physik

Skalarprodukt und Vektorprodukt

Skalarprodukt

Das Ergebnis der Multiplikation zweier Vektoren (Skalarprodukt) ist ein Skalar. Dieser Wert wird durch die Multiplikation der Beträge der Vektoren mit dem Kosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren berechnet. Es wird durch einen Punkt dargestellt und folgt der Formel: a · b = |a| |b| cos(α).

Zustand der Rechtwinkligkeit

Wenn cos(α) = 0, gilt a ⊥ b ↔ a · b = 0.

Winkel zwischen Vektoren

Der Winkel zwischen Vektoren berechnet sich als: cos(α) = (a · b) / (|a| |b|).

Vektorprodukt von Vektoren

• Modulo (Betrag): Die Formel lautet |a × b| = |a| |b| sin(α).
• Richtung: Senkrecht zur Ebene, die von den Vektoren aufgespannt wird.
• Orientierung (Sinn): Ergibt sich aus der Anwendung der Rechten-Hand-Regel.

Kinematik: Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Definition und Einheiten

Position: Die Position eines Körpers in Bezug auf einen Bezugspunkt wird durch einen Vektor definiert, der diesen Punkt mit dem Ort des Körpers verbindet. Die Einheit ist der Meter (m) und wird als r = xi + yj + zk ausgedrückt.

Geschwindigkeit: Gibt an, wie schnell sich die Position des Körpers ändert. Die Einheit ist m/s. Die Formel lautet v = (r - r₀) / (t - t₀). Die Momentangeschwindigkeit ist als die mittlere Geschwindigkeit definiert, wenn das Zeitintervall gegen Null geht. Sie wird durch Differenzierung der Positionsgleichung nach der Zeit ermittelt.

Beschleunigung: Die Beschleunigung eines Körpers misst die Rate, mit der sich die Geschwindigkeit ändert. Sie wird ausgedrückt als: a = Δv / Δt = (v_f - v₀) / (t_f - t₀). Sie wird in Metern pro Sekunde zum Quadrat (m/s²) gemessen. Die Momentanbeschleunigung ist der Grenzwert der Beschleunigung, wenn das Zeitintervall praktisch 0 ist, und wird durch die Differenzierung der Geschwindigkeit nach der Zeit erhalten.

Komponenten der Beschleunigung

Definition und physikalische Bedeutung

Tangentialbeschleunigung a(t): Erzeugt ausschließlich Änderungen des Geschwindigkeitsbetrags. Sie kann als der Wert definiert werden, der angibt, wie schnell sich der Betrag der Geschwindigkeit ändert. Die Richtung ist tangential zur Bahn an jedem beliebigen Punkt. Der Sinn entspricht der Bewegungsrichtung, wenn der Betrag der Geschwindigkeit zunimmt, und ist der Bewegung entgegengesetzt, wenn die Geschwindigkeit sinkt.

Normalbeschleunigung (a_n): Tritt bei krummlinigen Bewegungen auf und erzeugt nur Änderungen in der Richtung der Geschwindigkeit, ohne deren Betrag zu ändern. Durch Division des Quadrats der Geschwindigkeit durch den Wert des Radius der Kurve wird der Betrag bestimmt. Die Richtung ist radial und zeigt immer zur Mitte der Krümmung.

Gleichförmige und beschleunigte Bewegungen

Gleichförmige geradlinige Bewegung (MRU)

Gleichungen und Diagramme der Beschleunigung und Geschwindigkeit im Vergleich zur Zeit und zum Raum. Der Ausdruck kann verallgemeinert werden als: x = x₀ ± vt. Das Vorzeichen ± bedeutet: Entfernung (+) oder Annäherung (-). In den Grafiken ist die Geschwindigkeit konstant.

Gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung (MRUA)

Gleichungen und Diagramme der Beschleunigung, Geschwindigkeit und des Raums über der Zeit. Die Gleichung informiert uns über die Lage im Vergleich zur Zeit, wenn sich ein Körper geradlinig mit konstanter Beschleunigung bewegt: x = x₀ ± v₀t ± 1/2 at². Das Vorzeichen hängt davon ab, ob die ursprüngliche Geschwindigkeit und Beschleunigung vom Beobachter weg (Entfernung) oder zum Beobachter hin gerichtet sind.

Spezialfälle: Freier Fall und senkrechter Wurf

• Freier Fall: Gleichung der Geschwindigkeit v = gt, Gleichung der Position y = 1/2 gt².
• Senkrechter Wurf nach oben: Gleichung der Geschwindigkeit v = v₀ - gt, Gleichung der Position y = y₀ + v₀t - 1/2 gt².