Vektorrechnung: Parametrisierung & Integrale mit Beispielen

Vektorrechnung: Oberflächenintegral einer Helix

Dieser Abschnitt demonstriert die Berechnung eines Oberflächenintegrals für eine parametrisierte Helix.

Initialisierung und Parametrisierung

restart;
with(plots): with(Student): with(linalg):
S := (r, t) -> [r * cos(t), r * sin(t), t];
plot3d(S(r, t), r = 0 .. 1, t = 0 .. 2 * Pi);

Berechnung des Flächenelements

Tr := diff(S(r, t), r);
Ts := diff(S(r, t), t);
Pvec := crossprod(Tr, Ts);
Det(Pvec);
Mod_pvec := simplify(sqrt(innerprod(Pvec, Pvec)));

Integration des Flächenelements

Int(Int(Mod_pvec, r = 0 .. 1), t = 0 .. 2 * Pi) = int(int(Mod_pvec, r = 0 .. 1), t = 0 .. 2 * Pi);

Vektorrechnung: Oberflächenintegral eines Kegels

Dieser Abschnitt behandelt die Parametrisierung und Berechnung eines Oberflächenintegrals für einen Kegel.

Initialisierung und Kegel-Parametrisierung

restart;
with(linalg): with(plots): with(Student):
S := (u, v) -> [u * cos(v), u * sin(v), 4 - 2 * u];
plot3d(S(u, v), u = 0 .. 2, v = 0 .. 2 * Pi);

Dichtefunktion und Flächenelement

Dens := (u, v) -> k * u;
Tu := diff(S(u, v), u);
Tv := diff(S(u, v), v);
Pvec := crossprod(Tu, Tv);
Mod_pvec := simplify(sqrt(innerprod(Pvec, Pvec)));

Integration mit Dichtefunktion

Int(Int(Mod_pvec * Dens(u, v), u = 0 .. 2), v = 0 .. 2 * Pi) = int(int(Mod_pvec * Dens(u, v), u = 0 .. 2), v = 0 .. 2 * Pi);

Vektorrechnung: Oberflächenintegral einer Fläche

Dieser Abschnitt demonstriert die Berechnung eines Oberflächenintegrals für eine komplexere parametrisierte Fläche, einschließlich der Umwandlung in Polarkoordinaten.

Initialisierung und Flächen-Parametrisierung

restart;
with(linalg): with(plots): with(Student):
S := (u, v) -> [u*v, u + v, u*v];
Disco := (u, v) -> u^2 + v^2 = 1;

Berechnung des Flächenelements

Tu := diff(S(u, v), u);
Tv := diff(S(u, v), v);
Pvec := crossprod(Tu, Tv);
Mod_pvec := simplify(sqrt(innerprod(Pvec, Pvec)));

Integration und Polarkoordinaten-Transformation

Aufgrund der Komplexität der Gleichung wird eine Umwandlung in Polarkoordinaten vorgenommen.

Int(Int(Mod_pvec, u), v) = int(int(Mod_pvec, u), v);
Int(Int(sqrt(4 + 2*r^2), t = 0 .. 2*Pi), r = 0 .. 1) = int(int(sqrt(4 + 2*r^2), t = 0 .. 2*Pi), r = 0 .. 1);

Vektorrechnung: Oberflächenintegral einer Kugel

Dieser Abschnitt zeigt die Berechnung eines Oberflächenintegrals für eine parametrisierte Kugeloberfläche.

Initialisierung und Kugel-Parametrisierung

restart;
with(linalg): with(plots): with(Student):
S := (u, v) -> [cos(u) * cos(v), cos(u) * sin(v), sin(u)];

Berechnung des Flächenelements und Integration

Tu := diff(S(u, v), u);
Tv := diff(S(u, v), v);
Pvec := crossprod(Tu, Tv);
Mod_pvec := simplify(sqrt(innerprod(Pvec, Pvec)));
Int(Int(Mod_pvec, v = 0 .. u), u = 0 .. 2 * Pi) = int(int(Mod_pvec, v = 0 .. u), u = 0 .. 2 * Pi);

Vektorrechnung: Linienintegral über Zylinderbasis

Dieser Abschnitt demonstriert die Berechnung eines Linienintegrals über eine kreisförmige Zylinderbasis unter Verwendung von Polarkoordinaten.

Funktionsdefinition und Polarkoordinaten

F := (x, y) -> 1 + ((x^2 - y^2) / 6);
F(2 * cos(t), 2 * sin(t));

Berechnung des Bogenlängenelements

Dx1 := diff(2 * cos(t), t);
Dx2 := diff(2 * sin(t), t);
Mod_v := simplify(sqrt(Dx1^2 + Dx2^2));

Integration des Linienintegrals

Int((F(2 * cos(t), 2 * sin(t))) * 2, t = 0 .. 2 * Pi) = int((F(2 * cos(t), 2 * sin(t))) * 2, t = 0 .. 2 * Pi);

Vektorrechnung: Oberflächenintegral eines Gewölbes

Dieser Abschnitt befasst sich mit der Berechnung eines Oberflächenintegrals für eine durch eine Funktion definierte Fläche, typischerweise ein Gewölbe, unter Verwendung von Polarkoordinaten.

Funktionsdefinition und Flächenelement

F := (x, y) -> 1 + ((x^2 - y^2) / 6);
sqrt(1 + (diff(F(x, y), x))^2 + (diff(F(x, y), y))^2);

Integrand und Polarkoordinaten-Transformation

Integrand := (x, y) -> 1 + 1/9 * x^2 - 1/3 * y;
x := r * cos(t);
y := r * sin(t);

Integration in Polarkoordinaten

Int(Int(r * Integrand(x, y), r = 0 .. 4), t = 0 .. 2 * Pi) = int(int(r * Integrand(x, y), r = 0 .. 4), t = 0 .. 2 * Pi);