Verhältnisse, Proportionalität und Dreiecksähnlichkeit

Verhältnis: Grund nennen und Typen

Grund: Ein Verhältnis nennt die Beziehung zwischen zwei Größen; das erzielte Ergebnis zeigt den Vergleich. Es gibt zwei Typen:

- Verhältnis feststellen: die Beziehung zwischen zwei Größen, wenn eine die andere übersteigt.

- Geometrisches Verhältnis: wenn wir feststellen, wie oft ein Betrag in einen anderen passt. Das Verhältnis aller gegebenen Größen kann beispielsweise als Bruch oder Quotient angegeben werden (z. B. 3/12).

Direkte Proportionalität

Direkte Proportionalität: Zwei Größen M und N sind direkt proportional, wenn zu jeder Reihenfolge von Werten für M ein entsprechender Wert für N mit gleichem Faktor gehört. Wird eine Größe um einen Faktor vergrößert, so wird die andere um denselben Faktor vergrößert. Formal: N = k·M mit einer Proportionalitätskonstanten k.

Umgekehrte Proportionalität

Umgekehrte Proportionalität: Zwei Größen M und N sind umgekehrt proportional, wenn das Produkt der entsprechenden Werte konstant ist. Das heißt, wenn eine Größe wächst, nimmt die andere im gleichen Maße ab, so dass M·N = k (konstant). Formal: N = k / M mit Proportionalitätskonstante k.

Proportionalität und homologe Segmente

Beispiel: Wenn zwei Objekte im gleichen Anteil stehen, spricht man von Proportionalität zwischen homologen Segmenten. Bei ähnlichen Figuren folgen aus der Ähnlichkeit bestimmte Verhältnisse zwischen den Bereichen. Ist der Längenmaßstab k, so verhalten sich die Flächen wie k² (und die Volumina wie k³).

Ein Begriff dafür ist gleichproportionale Seiten (englisch: "same proportionals" bzw. "same proportional sides").

Hauptsätze zur Ähnlichkeit von Dreiecken

Hauptsatz der Ähnlichkeit von Dreiecken: Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

• Zwei Winkel sind jeweils gleich (Winkel-Winkel, W-W).
• Zwei Seiten sind proportional und der eingeschlossene Winkel ist gleich (Seite-Winkel-Seite in Bezug auf Proportionen, S-S-W).
• Drei Seiten sind proportional (Seite-Seite-Seite, S-S-S).

Maßstab und Zeichnung

Leitungen/Objekte werden verkleinert oder vergrößert, um sie in einer Planzeichnung darzustellen. Zwischen dem realen Objekt und der Zeichnung besteht ein ähnliches Verhältnis. Der verwendete Maßstab wird als Faktor G bezeichnet.

ZEICHNUNGSMAßSTAB = ZEICHNUNG / REALITÄT
Beispiel: ? = 1:10 bedeutet, die Zeichnung ist im Verhältnis 1 zu 10 zur Realität.

Typen von Maßstäben

- Natürlicher Maßstab: 1:1 (Originalgröße).
- Vergrößernder Maßstab: Zeichnung > Realität (Maßstabsfaktor > 1).
- Verkleinernder Maßstab: Zeichnung < Realität (Maßstabsfaktor < 1).

Satz im rechtwinkligen Dreieck

Theorem (Rechtwinkliges Dreieck): Die Höhe auf die Hypotenuse teilt diese in zwei Abschnitte, von denen jeder die Projektion eines Katheten auf die Hypotenuse ist. Jeder Kathetensatz und die Höhe stehen in bestimmten Proportionen zur Hypotenuse und zu den Projektionen (klassische Beziehungen der rechtwinkligen Dreiecke).

Formuliert: In einem rechtwinkligen Dreieck teilt die auf die Hypotenuse gefällte Höhe diese in zwei Abschnitte; jeder Abschnitt ist die Projektion des zugehörigen Kathetenabschnitts auf die Hypotenuse.