Volumen im ersten Oktanten: Zylinder, Kegel und Dichte

Grafische Darstellung des Volumens im ersten Oktanten

Grafische Darstellung des Volumens (darstellen im ersten Oktanten, d. h. x, y, z ≥ 0).

Zylinder und Kegel (Definitionen)

Cil_1: Cil_1 := (x^2 + y^2 - 2*x = 0, x implicitplot3d = 0..2, y = 0..2, z = 0..4, color = green)
Cil_2: Cil_2 := (x^2 + y^2 - 4*x = 0, x implicitplot3d = 0..4, y = 0..4, z = 0..4, color = blue)
Kegel: Kegel := implicitplot3d(x^2 + y^2 - z^2 = 0, x = 0..2, y = 0..2, z = 0..4, color = red)
Display: Display([Cil_1, Cil_2, Kegel]);

Lageprüfung relativ zum Kegel

Man prüft, ob ein Zylinder oberhalb oder unterhalb des Kegels liegt. In diesem Fall liegt er unterhalb des Kegels.

Definition der Funktion (Dichte)

F := (x, y, z) -> y;

Polar- bzw. Zylinderkoordinaten (Substitution)

Wir verwenden die Substitution x = r*cos(t), y = r*sin(t):

Subs(x = r*cos(t), y = r*sin(t), x^2 + y^2 - 2*x = 0);
Simplify(%);
Loesen((-(2*cos(t) - r) * r = 0), (r));

Dies ist der kleine Zylinder (untere Grenze des Radius). Wir erhalten r = 2*cos(t).

Subs(x = r*cos(t), y = r*sin(t), x^2 + y^2 - 4*x = 0);
Simplify(%);
Loesen((-(4*cos(t) - r) * r = 0), (r));

Ergebnis für den größeren Zylinder: r = 4*cos(t).

Subs(x = r*cos(t), y = r*sin(t), x^2 + y^2 - z^2 = 0);
Simplify(%);
Loesen((- z^2 + r^2 = 0), (z));

Für den Kegel gilt z = r.

Definition des Integrals (Masse)

Definiert man die Masse über das Volumenintegral in Zylinderkoordinaten, so lautet das Integral (mit r-Jacobi und Dichte f):

Int(Int(Int(r * f(r*cos(t), r*sin(t)), z = 0..r), r = 2*cos(t)..4*cos(t)), t = 0..Pi/2);
Int(Int(Int(r * f(r*cos(t), r*sin(t)), z = 0..r), r = 2*cos(t)..4*cos(t)), t = 0..Pi/2);

Die Dichtefunktion ist proportional zur z-Koordinate: k*z, wobei k eine beliebige reelle Zahl ist.

Dichte := (x, y, z) -> k * z;

Kugelkoordinaten und Jakobi

Für Kugelkoordinaten (hier verwenden wir r, f (phi), t (theta)) definieren wir:

X := r * cos(f) * cos(t);
Y := r * cos(f) * sin(t);
Z := r * sin(f);
Jacobi := r^2 * cos(f);

Int(Int(Int(Dichte(X, Y, Z) * Jacobi, t = 0..2*Pi), f = 0..Pi/2), r = 0..2) = Int(Int(Int(Dichte(X, Y, Z) * Jacobi, t = 0..2*Pi), f = 0..Pi/2), r = 0..2);

Hinweis: In den Ausdrücken oben wurden die Punktkoordinaten in Großbuchstaben für die Substitution in die Dichte verwendet.

Momente der Trägheit

Die Integrale für die Trägheitsmomente lauten (in Kugel- oder Zylinderkoordinaten entsprechend substituiert):

Achse OX

Int(Int(Int((y^2 + z^2) * Dichte(x, y, z) * Jacobi, r = 0..2), f = 0..Pi/2), t = 0..2*Pi) = Int(Int(Int((y^2 + z^2) * Dichte(x, y, z) * Jacobi, r = 0..2), f = 0..Pi/2), t = 0..2*Pi);

Achse OY

Int(Int(Int((x^2 + z^2) * Dichte(x, y, z) * Jacobi, r = 0..2), f = 0..Pi/2), t = 0..2*Pi) = Int(Int(Int((x^2 + z^2) * Dichte(x, y, z) * Jacobi, r = 0..2), f = 0..Pi/2), t = 0..2*Pi);

Die obigen Ausdrücke sind korrigiert in Rechtschreibung und Grammatik, die mathematischen Formeln wurden formatiert und die Terminologie für Koordinaten und Dichten präzisiert. Alle ursprünglichen Inhalte und Berechnungsschritte wurden beibehalten.