Wahrscheinlichkeit: Zufallsexperimente und Ereignisberechnung

Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten

Zufallsexperimente: Abhängig von den Ergebnissen kann es random sein: Wir können das Ergebnis nicht vorhersagen, da es vom Zufall abhängt. Deterministisch: Das Ergebnis ist von vornherein bekannt.

Grundlegende Begriffe

Elementares Ereignis: Jedes mögliche Ergebnis bei der Durchführung eines Zufallsexperiments.

Ergebnismenge: Menge aller elementaren Ereignisse.

Ereignis: Jede Teilmenge des Stichprobenraums.

Vereinbar: Zwei Ereignisse können gleichzeitig auftreten.

Unvereinbar: Das Gegenteil von vereinbar.

Vereinigung: Ein anderes Ereignis, das aus den elementaren Ereignissen von A und B besteht.

Schnittmenge: Ein anderes Ereignis, das aus den elementaren Ereignissen besteht, die A und B gemeinsam haben.

Entgegengesetzt oder ergänzend: Besteht aus allen elementaren Ereignissen, die nicht in A enthalten sind.

Operationen mit Ereignissen und deren Eigenschaften

1. Die Vereinigung eines Ereignisses und seiner Ergänzung ist die Summe, und ihre Schnittmenge ist die Erhaltung.
2. Die Ergänzung der Ergänzung eines Ereignisses entspricht dem ursprünglichen Ereignis.
3. Die Ergänzung der Vereinigung von Ereignissen ist der Schnittpunkt der Ergänzungen.
4. Die Ergänzung des Schnittpunkts zweier Ereignisse ist die Vereinigung ihrer Ergänzungen.

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist eine Zahl zwischen 0 und 1, die die Möglichkeit des Auftretens dieses Ereignisses angibt. Je wahrscheinlicher das Ereignis, desto größer ist die Wahrscheinlichkeit seines Auftretens.

Wenn bei der Durchführung eines Zufallsexperiments alle elementaren Ereignisse gleich wahrscheinlich sind, kann die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A mit der Regel von Laplace berechnet werden: P(A) = Anzahl der für das Ereignis A günstigen Fälle / Anzahl der möglichen Fälle.

Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit

1. Für jedes Ereignis A gilt: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
2. Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist 1, und die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist 0.
3. Wenn zwei Ereignisse unvereinbar sind, ist die Wahrscheinlichkeit ihrer Vereinigung P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
4. Für zwei beliebige Ereignisse A und B gilt: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
5. Wenn A und A' entgegengesetzte Ereignisse sind, gilt: P(A') = 1 - P(A).