Wahrscheinlichkeitsrechnung & Statistik: Aufgaben & Lösungen

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Kombinatorik

Kombinatorik

• Kombinatorische Formeln

  Das Verfahren bietet die notwendigen kombinatorischen Formeln, um die Anzahl der Möglichkeiten zu zählen, eine Reihe von Produkten mit bestimmten Merkmalen auszuwählen.

• Permutation und Variation

  Wenn alle Elemente einer endlichen Menge berücksichtigt werden, um alle möglichen Anordnungen zu finden, spricht man von einer Permutation oder Variation.

  Eine K-Variation (oder K-Permutation) liegt vor, wenn jede Gruppe aus K Elementen einer Gesamtmenge ausgewählt wird, wobei die Elemente unterschiedlich gewichtet sind oder die Reihenfolge der Auswahl eine Rolle spielt.

Wahrscheinlichkeitsrechnung

• Stichprobenraum (Ergebnisraum)

  Der Stichprobenraum (oder Ergebnisraum) wird als der Prozess der Beobachtung und Messung eines Experiments definiert.

• Ereignis

  Ein Ereignis ist eine Menge aller möglichen Ergebnisse eines Experiments und ist eine Teilmenge des Stichprobenraums.

  Ereignisse werden mit Großbuchstaben des Alphabets wie A, B, C usw. bezeichnet.

• Experiment

  Ein Experiment ist ein Vorgang, der zu einem oder mehreren Ergebnissen führt.

• Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

  Ereignissen, die mit Buchstaben wie A, B, C bezeichnet werden, ist eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet, die als P(A), P(B), P(C) usw. ausgedrückt wird.

  Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses wird aus klassischer Sicht als das Verhältnis der Anzahl der günstigen Ergebnisse für das Ereignis zur Gesamtzahl der gleich wahrscheinlichen Elementarereignisse des Experiments definiert.

• Unabhängige Ereignisse

  Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen Ereignisses keinen Einfluss auf das Eintreten des anderen hat. Die Wahrscheinlichkeit des einen Ereignisses beeinflusst nicht die Wahrscheinlichkeit des anderen.

• Bedingte Wahrscheinlichkeit

  Eine bedingte Wahrscheinlichkeit liegt vor, wenn das Ergebnis eines von zwei Ereignissen bereits bekannt ist. Man weiß also, was vor dem Eintreten des anderen Ereignisses passiert ist.

Übungsaufgaben: Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

Kombinatorik-Aufgaben

• Aufgabe 1: Fruchtauswahl

  Auf wie viele verschiedene Arten kann ich 2 Früchte auswählen, wenn ich 3 Orangen und 2 Äpfel habe?

  (Hinweis: Hier ist die Art der Frucht wichtig, nicht die individuelle Frucht, wenn es um "2 Früchte" geht. Wenn es um die Auswahl von 2 aus 5 *individuellen* Früchten geht, wäre es eine Kombination.)

• Aufgabe 2: Anordnung von Spielkarten

  Auf wie viele Arten kann ich die 4 spanischen Asse eines Decks anordnen?

Wahrscheinlichkeits-Aufgaben

• Aufgabe 3: Rote Kugeln

  Wir haben eine Schachtel mit 5 roten Kugeln. Das Ereignis, zwei rote Kugeln zu ziehen, ist ein ...?

• Aufgabe 4: Karten und Würfel

  Es wird eine Karte aus einem Kartenspiel mit 50 Karten gezogen und gleichzeitig ein Würfel mit 6 Seiten geworfen. Wie viele Elemente hat der Stichprobenraum?

• Aufgabe 5: Spanisches Deck und Würfel

  Es wird eine Karte aus einem spanischen Deck gezogen. Was ist die Wahrscheinlichkeit, ein Ass zu ziehen? Was ist die Wahrscheinlichkeit, eine 7 mit einem Würfel zu würfeln?

• Aufgabe 6: Zufallszahl

  Es wird eine Zufallszahl zwischen 1 und 10 gewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Zahl zu wählen.

• Aufgabe 7: Würfelsumme

  Sie werfen 2 Würfel, nummeriert von 1 bis 6. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der 2 Würfel 11 ist.

• Aufgabe 8: Kugeln ziehen

  Eine Box enthält 18 rote Kugeln und 12 weiße Kugeln. Berechne die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen.

• Aufgabe 9: Kugeln aus einem Beutel

  In einem Beutel befinden sich 18 Glaskugeln, 12 Steinkugeln und 10 Tonkugeln. Wenn wir zufällig eine Kugel ziehen, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Glas- oder Steinkugel ist?

Erwartungswert-Berechnungen

• Aufgabe 10: Lotterielos

  Ein Lotterielos bietet 2 Gewinne: 50.000 $ mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,001 und 20.000 $ mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,003. Was wäre ein angemessener Preis für das Los, basierend auf dem mathematischen Erwartungswert?

  Lösung:

  Der erwartete Wert ist: (50.000 $) * (0,001) + (20.000 $) * (0,003) = 50 $ + 60 $ = 110 $.

  Ein fairer Preis für das Los wäre 110 $.

• Aufgabe 11: Riskantes Geschäft

  In einem riskanten Geschäft kann eine Frau 3.000 $ mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 verdienen oder 1.000 $ mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 verlieren. Finden Sie den erwarteten Wert.

  Lösung:

  Der erwartete Wert ist: (3.000 $) * (0,6) + (-1.000 $) * (0,4) = 1.800 $ - 400 $ = 1.400 $.

• Aufgabe 12: Kugeln ziehen mit Gewinn

  Ein Beutel enthält 2 weiße und 3 schwarze Kugeln. Vier Personen (A, B, C und D) ziehen nacheinander eine Kugel, ohne sie zurückzulegen. Die erste Person, die eine weiße Kugel zieht, gewinnt 10 $. Bestimmen Sie den erwarteten Wert für A, B, C und D.

  Lösung:

  Es gibt insgesamt 5 Kugeln (2 weiß, 3 schwarz).

  Seien A, B, C und D die Ereignisse, dass die jeweilige Person gewinnt.

  • Erwartungswert für A:

    P(A gewinnt) = P(A zieht weiß) = 2/5.

    Erwarteter Wert für A = (2/5) * (10 $) = 4 $.

  • Erwartungswert für B:

    B gewinnt, wenn A eine schwarze Kugel zieht UND B eine weiße Kugel zieht.

    P(B gewinnt) = P(A zieht schwarz) * P(B zieht weiß | A zog schwarz) = (3/5) * (2/4) = 6/20 = 3/10.

    Erwarteter Wert für B = (3/10) * (10 $) = 3 $.

  • Erwartungswert für C:

    C gewinnt, wenn A schwarz, B schwarz UND C weiß zieht.

    P(C gewinnt) = P(A zieht schwarz) * P(B zieht schwarz | A zog schwarz) * P(C zieht weiß | A, B zogen schwarz)

    = (3/5) * (2/4) * (2/3) = 12/60 = 1/5.

    Erwarteter Wert für C = (1/5) * (10 $) = 2 $.

  • Erwartungswert für D:

    D gewinnt, wenn A schwarz, B schwarz, C schwarz UND D weiß zieht.

    P(D gewinnt) = P(A zieht schwarz) * P(B zieht schwarz | A zog schwarz) * P(C zieht schwarz | A, B zogen schwarz) * P(D zieht weiß | A, B, C zogen schwarz)

    = (3/5) * (2/4) * (1/3) * (2/2) = 12/120 = 1/10.

    Erwarteter Wert für D = (1/10) * (10 $) = 1 $.

  Überprüfung:

  Summe der erwarteten Werte = 4 $ + 3 $ + 2 $ + 1 $ = 10 $ (entspricht dem Gesamtgewinn).

  Summe der Wahrscheinlichkeiten = 2/5 + 3/10 + 1/5 + 1/10 = 4/10 + 3/10 + 2/10 + 1/10 = 10/10 = 1.

Fortgeschrittene Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

• Aufgabe 13: Blumensträuße

  Wie viele verschiedene Sträuße können mit 5 verschiedenen Blumenarten gebildet werden?

  Lösung:

  Jede Blume kann entweder ausgewählt werden oder nicht. Das sind 2 Möglichkeiten pro Blume. Bei 5 Blumen gibt es insgesamt 2^5 Möglichkeiten. Da ein Strauß mindestens eine Blume enthalten muss (d.h. der leere Strauß wird ausgeschlossen), ist die Anzahl der möglichen Sträuße = 2^5 - 1 = 31.

  Alternative Methode (Summe der Kombinationen):

  C(5,1) + C(5,2) + C(5,3) + C(5,4) + C(5,5) = 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31.

  Allgemein gilt für jede positive ganze Zahl n: C(n,1) + C(n,2) + ... + C(n,n) = 2^n - 1.

• Aufgabe 14: Wortbildung

  Mit 7 Konsonanten und 5 Vokalen: Wie viele Wörter können gebildet werden, die aus 4 verschiedenen Konsonanten und 3 verschiedenen Vokalen bestehen? Sinnlose Wörter sind erlaubt.

  Lösung:

  1. Wähle 4 Konsonanten aus 7: C(7,4) = 35 Möglichkeiten.

  2. Wähle 3 Vokale aus 5: C(5,3) = 10 Möglichkeiten.

  3. Die 7 ausgewählten Buchstaben (4 Konsonanten + 3 Vokale) können auf 7! = 5.040 Arten angeordnet werden.

  Die erforderliche Anzahl ist: C(7,4) * C(5,3) * 7! = 35 * 10 * 5.040 = 1.764.000.

• Aufgabe 15: Kugeln ziehen (Wahrscheinlichkeit)

  Eine Packung enthält 8 rote, 3 weiße und 9 blaue Kugeln (insgesamt 20 Kugeln). Wenn 3 Kugeln zufällig gezogen werden, bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass:

  1. Alle 3 Kugeln rot sind.

     Lösung (a):

     Methode 1 (Ohne Zurücklegen):

     P(R1, R2, R3) = P(1. Kugel rot) * P(2. Kugel rot | 1. rot) * P(3. Kugel rot | 1. & 2. rot)

     = (8/20) * (7/19) * (6/18) = 336 / 6840 = 14/285.

     Methode 2 (Kombinationen):

     Anzahl der Möglichkeiten, 3 rote Kugeln aus 8 zu ziehen: C(8,3) = 56.

     Gesamtzahl der Möglichkeiten, 3 Kugeln aus 20 zu ziehen: C(20,3) = 1140.

     P(3 rote Kugeln) = C(8,3) / C(20,3) = 56 / 1140 = 14/285.

  2. 2 Kugeln rot und 1 Kugel weiß sind.

     Lösung (b):

     Anzahl der Möglichkeiten, 2 rote Kugeln aus 8 zu ziehen: C(8,2) = 28.

     Anzahl der Möglichkeiten, 1 weiße Kugel aus 3 zu ziehen: C(3,1) = 3.

     Gesamtzahl der Möglichkeiten, 3 Kugeln aus 20 zu ziehen: C(20,3) = 1140.

     P(2 rote und 1 weiße Kugel) = (C(8,2) * C(3,1)) / C(20,3) = (28 * 3) / 1140 = 84 / 1140 = 7/95.

Statistik: Normalverteilung und Z-Werte

Z-Wert-Berechnungen

• Aufgabe 16: Mittelwert und Z-Werte

  In einer Untersuchung beträgt die Standardabweichung 18.

  1. Ein Schüler erreicht 150 Punkte, was einem Z-Wert von 3,5 entspricht. Berechne den Mittelwert.

     Lösung (a):

     Z = (X - μ) / σ

     3,5 = (150 - μ) / 18

     3,5 * 18 = 150 - μ

     63 = 150 - μ

     μ = 150 - 63 = 87.

     Der Mittelwert beträgt 87.

  2. Berechne die Z-Werte für folgende Schülerergebnisse, wenn der Mittelwert 87 und die Standardabweichung 18 beträgt:

     • i) 35 Punkte
     • ii) 60 Punkte
     • iii) 100 Punkte

     Lösung (b):

     • i) Z = (35 - 87) / 18 = -52 / 18 ≈ -2,89.
     • ii) Z = (60 - 87) / 18 = -27 / 18 = -1,5.
     • iii) Z = (100 - 87) / 18 = 13 / 18 ≈ 0,72.

  3. Berechne die Rohwerte (Punkte) für folgende Z-Werte, wenn der Mittelwert 87 und die Standardabweichung 18 beträgt:

     • i) Z = -2
     • ii) Z = 2,95

     Lösung (c):

     X = μ + Z * σ

     • i) X = 87 + (-2) * 18 = 87 - 36 = 51.
     • ii) X = 87 + (2,95) * 18 = 87 + 53,1 = 140,1.

Flächen unter der Normalverteilung

Berechne die Flächen unter der Standardnormalverteilung (Z-Verteilung) für die folgenden Intervalle. (Annahme: Die Z-Tabelle gibt die Fläche von Z=0 bis Z an.)

• Aufgabe 17 (a): Zwischen Z = 0 und Z = 1,7

  Lösung: P(0 < Z < 1,7) = 0,4554.

• Aufgabe 17 (b): Zwischen Z = 0 und Z = -0,68

  Lösung: P(-0,68 < Z < 0) = P(0 < Z < 0,68) = 0,2518.

• Aufgabe 17 (c): Zwischen Z = -0,56 und Z = 2,41

  Lösung: P(-0,56 < Z < 2,41) = P(-0,56 < Z < 0) + P(0 < Z < 2,41)

  = P(0 < Z < 0,56) + P(0 < Z < 2,41) = 0,2123 + 0,4920 = 0,7043.

• Aufgabe 17 (d): Zwischen Z = 0,91 und Z = 2,94

  Lösung: P(0,91 < Z < 2,94) = P(0 < Z < 2,94) - P(0 < Z < 0,91)

  = 0,4984 - 0,3186 = 0,1798.

• Aufgabe 17 (e): Links von Z = -0,9

  Lösung: P(Z < -0,9) = 0,5 - P(0 < Z < 0,9) = 0,5 - 0,3159 = 0,1841.

• Aufgabe 17 (f): Rechts von Z = -1,28

  Lösung: P(Z > -1,28) = P(-1,28 < Z < 0) + P(Z > 0)

  = P(0 < Z < 1,28) + 0,5 = 0,3997 + 0,5 = 0,8997.

• Aufgabe 17 (g): Rechts von Z = 3,05 und Links von Z = -1,54

  Lösung: P(Z > 3,05) + P(Z < -1,54)

  = (0,5 - P(0 < Z < 3,05)) + (0,5 - P(0 < Z < 1,54))

  = (0,5 - 0,4989) + (0,5 - 0,4382) = 0,0011 + 0,0618 = 0,0629.

Anwendung der Normalverteilung

• Aufgabe 18: Studentengewichte

  Das Durchschnittsgewicht von 1000 männlichen Studenten einer bestimmten Schule beträgt 62 Kilogramm (kg) und die Standardabweichung beträgt 8 kg. Es wird angenommen, dass die Gewichte normalverteilt sind. Ermitteln Sie, wie viele Studenten wiegen:

  1. Zwischen 54,4 kg und 70 kg.

     Lösung (a):

     Z1 für 54,4 kg = (54,4 - 62) / 8 = -7,6 / 8 = -0,95.

     Z2 für 70 kg = (70 - 62) / 8 = 8 / 8 = 1,00.

     P(-0,95 < Z < 1,00) = P(-0,95 < Z < 0) + P(0 < Z < 1,00)

     = P(0 < Z < 0,95) + P(0 < Z < 1,00) = 0,3289 + 0,3413 = 0,6702.

     Anzahl der Studenten = 0,6702 * 1000 ≈ 670 Studenten.

  2. Mehr als 80 kg.

     Lösung (b):

     Z für 80 kg = (80 - 62) / 8 = 18 / 8 = 2,25.

     P(Z > 2,25) = 0,5 - P(0 < Z < 2,25) = 0,5 - 0,4878 = 0,0122.

     Anzahl der Studenten = 0,0122 * 1000 ≈ 12 Studenten.

  3. Weniger als 47,4 kg.

     Lösung (c):

     Z für 47,4 kg = (47,4 - 62) / 8 = -14,6 / 8 = -1,825 ≈ -1,83.

     P(Z < -1,83) = 0,5 - P(0 < Z < 1,83) = 0,5 - 0,4664 = 0,0336.

     Anzahl der Studenten = 0,0336 * 1000 ≈ 34 Studenten.