Zusammenfassung der Gesetze der Mechanik und Elektromagnetismus

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Geschrieben am 4. November 2025 in Deutsch mit einer Größe von 12,94 KB

Keplers 2. Gesetz

Keplers 2. Gesetz: Der Radiusvektor eines Planeten überstreicht gleiche Flächen in gleichen Zeiten. Die Sektor-Geschwindigkeit jedes Planeten ist konstant.

Gravitation und Schwerpunkt

Universeller Schwerpunkt: Die Gravitation zwischen zwei Massen kann als eine zentrale Anziehungskraft ausgedrückt werden, die proportional zu den Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung zwischen ihnen ist.

Gravitationsfeld

Gravitationsfeld: Eine Masse $M$, die einen Punkt im Raum $P$ beeinflusst, erzeugt ein durch eine Vektorgröße, bekannt als Gravitationsfeldstärke $g$, beschriebenes Feld. Dieses Feld ist definiert als die Kraft pro Masseneinheit an dem Punkt $P$.

Feldüberlagerung

Überlagerung: Das resultierende Feld an einem Punkt $P$ ist die Summe der Felder, die jede einzelne Masse an dieser Stelle erzeugen würde, wenn sie allein wäre.

Arbeit und Kraft

Arbeit eines Vektors $\vec{F}$ auf einen Körper: Die Arbeit hängt von der Intensität der Kraft, der Weglänge und der relativen Orientierung des Kraftvektors in Bezug auf die Verschiebung ab. Nur wenn die Kraft konstant ist (d.h. nicht vom Ort abhängt), kann sie bestimmt werden als $W = F \cdot \Delta r \cdot \cos(\alpha)$.

Arbeit-kinetische Energie-Satz

Arbeit-kinetische Energie-Satz: Die an einem Teilchen von allen auf es wirkenden Kräften verrichtete Arbeit entspricht der Änderung seiner kinetischen Energie: $W = \Delta E_k$.

Konservative Kraft

Wenn $\vec{F}$ konservativ ist: Die an dem Körper verrichtete Arbeit zwischen zwei Punkten ist wegunabhängig.

Potenzielle Energie

Physikalische Bedeutung der potenziellen Energie an Punkt A: Die potenzielle Energie einer Masse $m$ an einem Punkt $A$ entspricht der Arbeit, die verrichtet wird, wenn $m$ von einem Bezugspunkt (oft Unendlich) nach $A$ bewegt wird.

Feld und Potenzial

Beziehung zwischen Feld und Potenzial: Die physikalische Bedeutung des Potenzials ist die potenzielle Energie pro Bezugseinheit der Masse.

Energieerhaltung

Energieerhaltungsprinzip: Die Gesamtenergie $E_m$ eines Teilchens, das sich unter konservativen Kräften bewegt, bleibt konstant.

Elektrische Ladungen

Eigenschaften elektrischer Ladungen:

Es gibt zwei Arten von Ladungen.
Die Ladung ist eine skalare, additive Größe.
Sie bewirkt die Neutralität der Materie (Komplementarität).
Die Größe ist quantisiert.
Sie ist in geschlossenen Systemen erhalten.
Die Einheit ist das Coulomb ($C$).

Coulombsches Gesetz

Coulombsches Gesetz: Die Anziehungs- oder Abstoßungskraft zwischen zwei Punktladungen ist proportional zum Produkt der Ladungen und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung zwischen ihnen (siehe Zeichnung). Die Kräfte sind gleich groß und entgegengesetzt gerichtet. Die Kraft kann durch $\vec{F} = k \frac{q_1 q_2}{r^2} \hat{r}$ ausgedrückt werden, wobei $\hat{r}$ der Einheitsvektor ist, der von der Ladung ausgeübt wird, die die Kraft erfährt, zur Ladung, die die Kraft ausübt. Die Vorzeichen der Ladungen müssen berücksichtigt werden. Der Wert der Konstante $k$ für das Vakuum ist $k \approx 9 \cdot 10^9 \ \text{Nm}^2/C^2$.

Elektrostatische Kraft

Eigenschaften der elektrostatischen Kraft: Sie ist eine zentrale, konservative, anziehende oder abstoßende Kraft und ist weitreichend; sie hängt von der Umgebung ab.

Elektrisches Feld

Starkes elektrisches Feld $E$: Kraft pro positive Testladung, die an dieser Stelle platziert wird (Formel). Wenn wir den Ausdruck des Coulombschen Gesetzes ersetzen, erhalten wir den Ausdruck für das Feld, das von einer Punktladung erzeugt wird (Formel).

Feldlinien und Potenzial

Feldlinien: Linien, die in jedem Punkt tangential zum Vektorfeld sind.

Beziehung zwischen Feld und Potenzial ($E$ und $V$) (Formel). Beziehung zwischen Kraft $\vec{F}$ auf eine Ladung $q$ und dem Potenzial $V$ (Formel).

Potenzielle Energie und Potenzial

Definition der potenziellen Energie einer Ladung $q$ an einem Punkt: Dies ist die Arbeit, die verrichtet wird, wenn eine Einheitsladung von diesem Punkt bis ins Unendliche bewegt wird (Formel).

Definition des elektrischen Potenzials an einem Punkt: Dies ist die Arbeit, die verrichtet wird, um die Ladung vom Ursprung zu diesem Punkt zu verschieben.

Ausdruck der potenziellen Energie einer Ladung $q$ im Feld einer Ladung $Q$: (Formel).

Beziehung zwischen potenzieller Energie einer Ladung und dem Potenzial an dieser Stelle: $E_p = qV$.

Leiter und Dielektrika

Eigenschaften elektrischer Leiter:

Sie besitzen freie Ladungsträger.
Bei fehlendem angelegtem elektrischem Feld haben die Ladungsträger eine zufällige Bewegung.
Bei Anlegen eines äußeren elektrischen Feldes reagieren die Träger mit einer geordneten Bewegung.
Ein Leiter befindet sich im elektrostatischen Gleichgewicht, wenn kein Ladungstransport im Inneren stattfindet und folgende Bedingungen erfüllt sind:
- Das elektrische Feld im Inneren ist gleich Null.
- Alle Punkte haben das gleiche Potenzial.
- Der elektrische Feldvektor ist senkrecht zur Oberfläche.
- Wenn der Leiter aufgeladen ist, sammeln sich die Ladungen auf der Oberfläche an.

Eigenschaften von Dielektrika oder Isolatoren:

Sie besitzen keine freien Ladungsträger.
Unter dem Einfluss äußerer Felder können sie polarisieren.
Polarisation ist eine Verschiebung der Ladungen in jedem Molekül des Materials, wodurch sich Dipole bilden.
In Anwesenheit äußerer Felder bilden sich Ladungsdichten auf den Oberflächen, die ein resultierendes Feld erzeugen, das das äußere Feld abschwächt.

Mechanische Energie und Oersted

Ausdruck der mechanischen Energie einer bewegten Ladung in einem elektrischen Feld: $E_{k, ext{mech}} = \frac{1}{2}mv^2 = qV$.

Experiment von Oersted: Es zeigte die Beziehung zwischen einem elektrischen Strom und der Ablenkung einer Kompassnadel. Später wurden die Kräfte von Magneten auf den Fluss und die Kräfte zwischen elektrischen Strömen untersucht.

Magnetische Kräfte

Ursprung magnetischer Kräfte: Magnetische Kräfte entstehen aus der Wechselwirkung zwischen bewegten Ladungen.

Komplementarität von elektrischen und magnetischen Effekten: Elektrische und magnetische Effekte sind komplementär; eine Ladung kann für einen Beobachter in Ruhe stationär und für einen anderen in Bewegung sein.

Magnetfelderzeugung und -stärke

Elektrisches Feld erzeugt durch einen geradlinigen Strom: $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi R}$

Magnetfeld einer Stromschleife im Zentrum: $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$

Magnetfeld einer Spule: $B = \mu_0 nI$

Lorentzkraft

Kraft auf eine bewegte Ladung (Lorentzkraft): Wenn sich eine Ladung $q$ mit der Geschwindigkeit $\vec{v}$ in einem Magnetfeld $\vec{B}$ bewegt, wirkt eine Kraft auf sie mit folgenden Eigenschaften:

Sie ist proportional zur Ladung $q$.
Sie ist proportional zu $\vec{v}$ und $\vec{B}$ und senkrecht zur Ebene, die durch $\vec{v}$ und $\vec{B}$ bestimmt wird: $\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B})$.

Magnetische Kräfte verrichten keine Arbeit: Da sie senkrecht zur Geschwindigkeit stehen.

Bewegung im Magnetfeld

Ableitung der Ausdrücke: $F = qvB = \frac{mv^2}{R}$, woraus der Radius der Flugbahn $R = \frac{mv}{qB}$, die Periodendauer $T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$ und die Frequenz der Drehung $f = \frac{1}{T} = \frac{qB}{2\pi m}$ folgt.

Kraft auf einen Leiter

Ausdruck des Lorentzkraftgesetzes auf einen Leiter: Die magnetische Kraft auf einen geraden Leiter ist:

Proportional zur Stromstärke $I$.
Proportional zur Länge des Leiters und dem Magnetfeld $\vec{B}$.
Senkrecht zur Ebene des Leiters und des Feldes bestimmt durch $\vec{F} = I (\vec{l} \times \vec{B})$.

Kräfte zwischen Strömen

Kraft zwischen parallelen Strömen: Das Magnetfeld $B_1$ erzeugt durch $I_1$ in einem Abstand $d$ ist $B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi d}$. Die Kraft, die dieses Magnetfeld auf den Strom $I_2$ ausübt, ist $F_{12} = I_2 l B_1$. Die Kraft auf den Strom $I_1$ ist gleich groß und entgegengesetzt gerichtet. Pro Längeneinheit ist die Kraft zwischen parallelen Strömen: $F/l = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi d}$. Ströme in die gleiche Richtung ziehen sich an.

Einheiten

Ampere (A): Ein Ampere ist die Stromstärke, die fließt, wenn zwei unendlich lange, parallele Leiter, die 1 m voneinander entfernt im Vakuum liegen, eine Kraft von $2 \cdot 10^{-7} \text{ N}$ pro Längeneinheit erzeugen.

Coulomb (C): Die Menge an Ladung, die pro Sekunde einen Querschnitt eines Leiters mit einem Strom von 1 Ampere durchquert.

Magnetischer Fluss

Magnetischer Fluss durch eine Fläche: Der magnetische Fluss ist ein Maß für die Anzahl der Feldlinien, die eine gegebene Fläche durchdringen: $\Phi = \vec{B} \cdot \vec{S}$.

Wert des Flusses durch eine geschlossene Fläche: Da die magnetischen Feldlinien geschlossen sind, ist der Netto-Fluss durch eine geschlossene Oberfläche Null.

Elektromagnetische Induktion

Elektromagnetische Induktion: Es ist möglich, einen elektrischen Strom durch ein sich änderndes Magnetfeld zu erzeugen.

Faraday-Lenz-Gesetz: Die Richtung des induzierten Stroms ist so, dass die durch ihn erzeugte magnetische Wirkung der Änderung des Magnetflusses entgegenwirkt, die ihn erzeugt hat.

Induzierter Strom

Erzeugung eines induzierten Stroms:

Schließen oder Öffnen des Primärkreises (aber nicht, wenn die Intensität konstant ist).
Es muss eine Relativbewegung zwischen den Spulen geben.
Wenn der Primärkreis durch einen Magneten ersetzt wird, der sich relativ zur Spule bewegt.

Begriff des Vorzeichens: Es bezieht sich auf die Änderung der Größe.

Ist die magnetische Kraft konservativ? Nein, da sie mit der potenziellen Energie zusammenhängt.

Wechselstrom und Transformatoren

Erzeugung von Wechselstrom (AC): Ein Wechselstrom ist einer, dessen Wert sich mit der Zeit ändert. Das Phänomen der magnetischen Induktion ermöglicht den Bau von Stromerzeugern. Wenn sich die Größe ändert, ist die mathematische Funktion typischerweise Sinus oder Kosinus.

Transformator: Elektrische Geräte, die auf der elektromagnetischen Induktion basieren und die Spannung eines Wechselstroms ändern können. Der magnetische Fluss des Primärkreises ändert sich auf den Sekundärkreis, und die Windungszahl ist unterschiedlich, was zu einer unterschiedlichen Spannung führt.

Übersetzungsverhältnis: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{N_1}{N_2}$. Wenn $N_1 > N_2$, handelt es sich um einen Abwärtstransformator.

Vorteile von Wechselstrom

Vorteile der Verwendung von Wechselstrom:

Über 90 % des verbrauchten Stroms ist Wechselstrom.
Verwendung von AC-Motoren oder Fehlen einer Polarität.
Möglichkeit, die Spannung mittels Transformatoren zu erhöhen oder zu verringern, was zu einer entsprechenden Verringerung der Verluste während des Transports führt.
Möglichkeit der Gleichrichtung (der Prozess, bei dem er stetig wird).

Wiederholung Dielektrika und Mechanische Energie