Analytische Geometrie: Wichtige Berechnungen im Raum

1. Ebene senkrecht zu einer Geraden durch einen Punkt

Verwenden Sie den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor der Ebene. Setzen Sie diesen in die Ebenengleichung Ax + By + Cz + D = 0 ein. Bestimmen Sie D, indem Sie die Koordinaten des gegebenen Punktes in die Gleichung einsetzen.

2. Symmetrischer Punkt P' zu P bezüglich einer Geraden r

Berechnen Sie die Projektion M von P auf die Gerade r. Hierfür wird eine Hilfsebene durch P senkrecht zu r aufgestellt. Der Schnittpunkt dieser Ebene mit r ergibt M. Der symmetrische Punkt P' berechnet sich durch die Formel M = (P + P') / 2.

3. Gerade durch P und P' senkrecht zu r

Bestimmen Sie den Richtungsvektor durch die Differenz der Punkte P und P'. Die gesuchte Gerade verläuft durch P mit diesem Richtungsvektor.

4. Ebene senkrecht zu einer Ebene und parallel zu einer Geraden

Der Normalenvektor der gesuchten Ebene ist senkrecht zum Normalenvektor der gegebenen Ebene und zum Richtungsvektor der Geraden. Nutzen Sie das Kreuzprodukt dieser beiden Vektoren, um den Normalenvektor der neuen Ebene zu erhalten.

5. Gemeinsame Senkrechte zweier Geraden

Prüfen Sie zunächst, ob sich die Geraden schneiden. Bestimmen Sie den Richtungsvektor w durch das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren beider Geraden. Konstruieren Sie eine Ebene mit einer der Geraden und dem Vektor w. Der Schnittpunkt dieser Ebene mit der zweiten Geraden liefert den Verbindungspunkt.

6. Ebene durch A senkrecht zu einer Geraden durch B und C

Der Vektor BC dient als Normalenvektor der Ebene. Setzen Sie diesen und den Punkt A in die Ebenengleichung Ax + By + Cz + D = 0 ein, um D zu berechnen.

7. Ebene durch A senkrecht zu einer Ebene und parallel zu einer Geraden

Stellen Sie die Gerade in Parameterform dar. Nutzen Sie den Normalenvektor der gegebenen Ebene und den Richtungsvektor der Geraden, um den Normalenvektor der gesuchten Ebene mittels Kreuzprodukt zu bestimmen.

8. Volumen einer Pyramide

Berechnen Sie die Vektoren AB, AC und AD. Das Volumen ergibt sich aus dem Betrag der Determinante dieser drei Vektoren, geteilt durch 6: V = 1/6 * |det(AB, AC, AD)|.

9. Abstand eines Punktes P zu einer Ebene

Bestimmen Sie zuerst die Ebenengleichung, die den Punkt A und die Gerade r enthält. Nutzen Sie anschließend die Hessesche Normalform: d(P, E) = |Ax_p + By_p + Cz_p + D| / sqrt(A² + B² + C²).

10. Parameter k für parallele Gerade und Ebene

Eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden senkrecht zum Normalenvektor der Ebene steht (Skalarprodukt = 0). Lösen Sie die Gleichung nach k auf und prüfen Sie, ob die Gerade nicht in der Ebene liegt.