Differential- und Integralrechnung

Funktionen

Ein Satz von geordneten Paaren (x, y), wobei die möglichen Werte von "x" als Definitionsbereich der Funktion und die möglichen Werte von "y" als Wertebereich der Funktion bezeichnet werden.

Schreibweise von Funktionen

y = f(x)

Das bedeutet "y ist eine Funktion von x".

"x" ist die unabhängige Variable.

"y" ist die abhängige Variable.

Beispiel:

y = f(x) = x² - 2x

Bestimmung des Definitionsbereichs einer Funktion

Auswertung einer Funktion

y = (-2)² - 2(-2) = 4 + 4 = 8

y = (-1)² - 2(-1) = 1 + 2 = 3

y = (0)² - 2(0) = 0 - 0 = 0

y = (1)² - 2(1) = 1 - 2 = -1

y = (2)² - 2(2) = 4 - 4 = 0

y = (3)² - 2(3) = 9 - 6 = 3

Definitionsbereich: (-∞, ∞)

Wertebereich: [-1, ∞)

Operationen mit Funktionen

Gegeben ist y = f(x) = x² - 2x - 3. Berechne:

• y = f(-2) = (-2)² - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5
• y = f(3) = (3)² - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0
• f(-1) = (-1)² - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0
• y = f(1) - f(2) = [(1)² - 2(1) - 3] - [(2)² - 2(2) - 3] = [1 - 2 - 3] - [4 - 4 - 3] = [-4] - [-3] = -1
• y = f(x + Δx) = (x + Δx)² - 2(x + Δx) - 3 = x² + 2xΔx + (Δx)² - 2x - 2Δx - 3
• y = f(x + Δx) - f(x) = x² + 2xΔx + (Δx)² - 2x - 2Δx - 3 - (x² - 2x - 3) = 2xΔx + (Δx)² - 2Δx
• y = [f(x + Δx) - f(x)] / Δx = (2xΔx + (Δx)² - 2Δx) / Δx = 2x + Δx - 2

Grenzwerte

• lim_x→3 (3x² - 2x) = 3(3)² - 2(3) = 27 - 6 = 21
• lim_x→3 (3x² - 2x) = 21
• lim_x→4 (x - 4) / (2x) = (4 - 4) / (2(4)) = 0 / 8 = 0
• lim_x→1 (3x) / (x - 1) = 3(1) / (1 - 1) = 3 / 0 = ∞
• lim_x→-2 (x² - 4) / (x² + 5x + 6) = (-2)² - 4 / ((-2)² + 5(-2) + 6) = (4 - 4) / (4 - 10 + 6) = 0 / 0 (unbestimmt)
  Faktorisiere den Ausdruck:
  lim_x→-2 (x + 2)(x - 2) / ((x + 3)(x + 2)) = lim_x→-2 (x - 2) / (x + 3) = (-2 - 2) / (-2 + 3) = -4 / 1 = -4
• lim_x→8 (√(x + 1) - 3) / (x - 8) = (√(8 + 1) - 3) / (8 - 8) = 0 / 0 (unbestimmt)
  Multipliziere mit dem Konjugierten:
  lim_x→8 (√(x + 1) - 3) / (x - 8) * (√(x + 1) + 3) / (√(x + 1) + 3) = lim_x→8 (x + 1 - 9) / ((x - 8)(√(x + 1) + 3))
  lim_x→8 (x - 8) / ((x - 8)(√(x + 1) + 3)) = lim_x→8 1 / (√(x + 1) + 3) = 1 / (√(8 + 1) + 3) = 1 / (3 + 3) = 1/6
• lim_x→∞ (x³ - 2x² + 5x) / (x³ + 3x² + 4x) = lim_x→∞ (x³(1 - 2/x + 5/x²)) / (x³(1 + 3/x + 4/x²))
  = lim_x→∞ (1 - 2/x + 5/x²) / (1 + 3/x + 4/x²) = 1

Ableitungen

Die Ableitung ist die Steigung der Tangente an die Kurve.

Schreibweise der Ableitung

y' = dy/dx = lim_Δx→0 (f(x + Δx) - f(x)) / Δx

Beispiel:

Bestimme die Ableitung von y = f(x) = x² mithilfe der Definition.

dy/dx = lim_Δx→0 ((x + Δx)² - x²) / Δx

dy/dx = lim_Δx→0 (x² + 2xΔx + (Δx)² - x²) / Δx = lim_Δx→0 (2xΔx + (Δx)²) / Δx

lim_Δx→0 (2x + Δx) = 2x

Ableitungsformeln

• d/dx(c) = 0
• d/dx(x) = 1
• d/dx(xⁿ) = nx^n-1
• d/dx(u ± v ± w) = du/dx ± dv/dx ± dw/dx
• d/dx(u * v) = u * dv/dx + v * du/dx
• d/dx(u/v) = (v * du/dx - u * dv/dx) / v²
• d/dx(uⁿ) = nu^n-1 * du/dx

Beispiele:

Bestimme die Ableitung von:

• y = x³ - 2x + 5 => y' = 3x² - 2
• y = (x² - 36) / (x + 6) => y' = ((x + 6)(2x) - (x² - 36)(1)) / (x + 6)²
  y' = (2x² + 12x - x² + 36) / (x + 6)² = (x² + 12x + 36) / (x + 6)² = (x + 6)² / (x + 6)² = 1
• y = √(x² + 2x) => y' = 1/2(x² + 2x)^-1/2 * (2x + 2)
  y' = (2x + 2) / (2√(x² + 2x)) = (x + 1) / √(x² + 2x)

Maxima und Minima

Gegeben ist die Funktion y = f(x) = 1/3x³ - 3/2x² - 10x. Bestimme die Maxima, Minima und Wendepunkte.

Lösung:

Kriterium der zweiten Ableitung:

y' = x² - 3x - 10 = 0 => y'' = 2x - 3

(x - 5)(x + 2) = 0

x₁ = 5, x₂ = -2 (kritische Punkte)

y''(5) = 2(5) - 3 = 7 (Minimum)

y''(-2) = 2(-2) - 3 = -7 (Maximum)

y'' = 2x - 3 = 0

x = 3/2 (Wendepunkt)

y₁ = f(5) = 1/3(5)³ - 3/2(5)² - 10(5) = 125/3 - 75/2 - 50 = -45.84

y₂ = f(-2) = 1/3(-2)³ - 3/2(-2)² - 10(-2) = -8/3 - 6 + 20 = 11.33

Bei x = 5/3 liegt ein Maximum vor.

Schnittwinkel zweier Kurven

m₁ = f'(x)

m₂ = y'(x)

Beispiel:

Bestimme den Schnittwinkel der Kurven:

x² - 6x - y = -5

-2x + y = -7

y = x² - 6x + 5 => y' = 2x - 6 => m₁ = 2(6) - 6 = 6

y = 2x - 7 => y' = 2 => m₂ = 2

Gleichsetzen:

x² - 6x + 5 = 2x - 7

x² - 8x + 12 = 0

(x - 6)(x - 2) = 0

x₁ = 6, x₂ = 2

y₁ = 5, y₂ = -3

tan(φ) = (m₂ - m₁) / (1 + m₁m₂) = (2 - 6) / (1 + (6)(2)) = -4/13

φ = tan^-1(-4/13)

φ₁ = 17.10°, φ₂ = 162.89°

Anwendungsproblem zu Maxima und Minima

Es soll eine oben offene Schachtel aus einem quadratischen Aluminiumblech mit einer Seitenlänge von 10 cm hergestellt werden. Dazu werden an den Ecken Quadrate ausgeschnitten und die Seiten hochgeklappt. Wie groß müssen die ausgeschnittenen Quadrate sein, damit das Volumen der Schachtel maximal wird?

v(x) = (10 - 2x)(10 - 2x)x

v(x) = (10 - 2x)²x = (100 - 40x + 4x²)x = 100x - 40x² + 4x³

v'(x) = 100 - 80x + 12x² => v''(x) = -80 + 24x

v''(5/3) = -80 + 24(5/3) = -40

3x² - 20x + 25 = 0

x = (-(-20) ± √((-20)² - 4(3)(25))) / (2(3)) = (20 ± √(400 - 300)) / 6 = (20 ± √100) / 6 = (20 ± 10) / 6

x₁ = 5, x₂ = 10/6 = 5/3

Ableitungen trigonometrischer und logarithmischer Funktionen

• y = sin(v) => y' = cos(v) * v'
• y = cos(v) => y' = -sin(v) * v'
• y = tan(v) => y' = sec²(v) * v'
• y = csc(v) => y' = -csc(v) * cot(v) * v'
• y = sec(v) => y' = sec(v) * tan(v) * v'
• y = cot(v) => y' = -csc²(v) * v'
• y = ln(v) => y' = v' / v
• y = e^v => y' = e^v * v'

Beispiele:

Bestimme die Ableitung von:

• y = f(x) = cos(x²) - sin(3x) => y' = -sin(x²)(2x) - cos(3x)(3) = -2xsin(x²) - 3cos(3x)
• y = f(x) = tan(2x²) + sec(3x) => y' = sec²(2x²)(4x) + sec(3x)tan(3x)(3) = 4xsec²(2x²) + 3sec(3x)tan(3x)
• y = ln(csc(2x)) => y' = (-csc(2x)cot(2x)(2)) / csc(2x) = -2cot(2x)
• y = e^3x2 => y' = e^3x2(6x) = 6xe^3x2

Integralrechnung

Formeln

• ∫du = u + c
• ∫adu = a∫du
• ∫u^mdu = u^m+1 / (m + 1) + c
• ∫(u ± v ± w)dx = ∫udx ± ∫vdx ± ∫wdx
• ∫du/u = ln|u| + c
• ∫e^udu = e^u + c
• ∫sin(u)du = -cos(u) + c
• ∫cos(u)du = sin(u) + c
• ∫tan(u)du = -ln|cos(u)| + c
• ∫_a^bf(x)dx = F(b) - F(a)

Integration durch Substitution

∫udv = uv - ∫vdu

Beispiele:

• ∫(x² - 2x + 4)dx = ∫x²dx - ∫2xdx + ∫4dx = x³/3 - x² + 4x + c
• ∫(x² - 2x)^1/2(6x - 6)dx = 3∫(x² - 2x)^1/2(2x - 2)dx = 3∫u^1/2du = 3u^3/2 / (3/2) + c = 2u^3/2 + c
  u = x² - 2x
  du = (2x - 2)dx
  = 2(x² - 2x)^3/2 + c
• ∫(3x³ - 9x²)⁵(18x² - 36x)dx = 1/2∫(3x³ - 9x²)⁵(9x² - 18x)dx = 1/2∫u⁵du = 1/2 * u⁶/6 + c
  u = 3x³ - 9x²
  du = (9x² - 18x)dx
  = 1/12(3x³ - 9x²)⁶ + c
• ∫₁²(x² - 2x)dx = ∫₁²x²dx - ∫₁²2xdx = x³/3 - x²|₁² = (2³/3 - 2²) - (1³/3 - 1²) = 8/3 - 4 - 1/3 + 1 = -2/3

Flächenberechnung unter einer Funktionskurve

y = f(x) = x² - 3x

∫₀³(x² - 3x)dx = ∫₀³x²dx - 3∫₀³xdx = x³/3 - 3x²/2|₀³ = (3³/3 - 3(3)²/2) - (0³/3 - 3(0)²/2) = 9 - 27/2 = -9/2

• ∫sin(3x²) * 2xdx = 1/3∫sin(3x²) * 6xdx = 1/3(-cos(3x²)) + c = -1/3cos(3x²) + c
• ∫2/(x + 8)dx = 2∫1/(x + 8)dx = 2ln|x + 8| + c