Geometrie: Grundlagen, Winkel und Polygone

Thema 7: Zusammenfassung der Geometrie

Grundelemente der Ebene

• Darstellungssystem: Ermöglicht es uns, Elemente in einer Ebene darzustellen.
• Punkt: Er wird durch seine Koordinaten bestimmt und in der Regel mit einem Namen versehen.
• Gerade: Eine unendliche Menge von Punkten in derselben Richtung.
• Strahl (Halbgerade): Einer der beiden Teile einer Geraden, die durch einen Punkt getrennt werden.
• Strecke (Segment): Ein Teil einer Geraden zwischen zwei Punkten.

Klassen von Strecken:

• Nullstrecke: Die Endpunkte treffen am selben Ort zusammen.
• Aufeinanderfolgende Strecken: Strecken, die einen Endpunkt gemeinsam haben.
• Kollineare Strecken: Strecken, die auf derselben Geraden liegen.

Winkel und ihre Messung

Winkel: Ein Bereich der Ebene, der von zwei Halbgeraden (Schenkeln) begrenzt wird, die denselben Ausgangspunkt (Scheitelpunkt) haben. Er wird in Grad oder Radiant gemessen.

Winkelarten nach Maß:

Beziehungen zwischen Winkeln:

• Aufeinanderfolgende Winkel: Haben denselben Scheitelpunkt und eine gemeinsame Seite.
• Benachbarte Winkel: Liegen an einer Geraden und ergänzen sich zu 180°.
• Scheitelwinkel: Haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt; die Seiten des einen sind die Verlängerungen des anderen.
• Supplementärwinkel: Ergeben zusammen 180°.

Winkel an einer Transversalen:

Winkel, die zwischen zwei parallelen Linien und einer schneidenden Geraden (Transversale) entstehen:

• Stufenwinkel (entsprechende Winkel): 1, 3; 2, 4; 5, 7; 6, 8 sind jeweils gleich.
• Wechselwinkel (innen): 2, 6; 3, 7 sind gleich.
• Wechselwinkel (außen): 1, 5; 8, 4 sind gleich.

Polygone (Vielecke)

Ein Bereich der Ebene oder eine ebene Fläche, die von einem geschlossenen Streckenzug umschlossen wird.

• Seite: Jedes der Segmente, die das Polygon bilden.
• Eckpunkt (Vertex): Punkt, an dem zwei Seiten zusammentreffen.
• Diagonale: Strecke, die zwei nicht aufeinanderfolgende Ecken verbindet.
• Innenwinkel eines Polygons: Der Winkel, der im Inneren durch die Seiten des Polygons gebildet wird.

Bewertung und Klassifizierung:

• Konvex: Alle Innenwinkel sind kleiner als 180°.
• Konkav: Mindestens ein Innenwinkel ist größer als 180°.

Elemente regulärer Polygone:

• Mittelpunkt (Zentrum): Der Punkt, der von allen Ecken gleich weit entfernt ist.
• Radius: Abstand zwischen dem Zentrum und einem Eckpunkt.
• Umkreis: Ein Kreis, der das Polygon umschließt und durch alle Ecken verläuft.
• Apothem: Abstand zwischen dem Zentrum und dem Mittelpunkt jeder Seite.
• Inkreis: Ein Kreis innerhalb des Polygons, der alle Seiten in deren Mittelpunkt berührt.

Dreiecke

Dreiseitige Polygone. Sie haben keine Diagonalen. Die Summe der drei Innenwinkel beträgt immer 180°.

Besondere Linien im Dreieck:

• Höhen: Linien durch jede Ecke, die senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite stehen. Sie schneiden sich im Höhenschnittpunkt. Die Höhe ist der Abstand von der Spitze zur gegenüberliegenden Seite.
• Seitenhalbierende (Mediane): Sie verlaufen vom Eckpunkt zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite. Sie schneiden sich im Schwerpunkt (Baryzentrum).
• Mittelsenkrechten: Senkrechte Linien auf jeder Seite in deren Mittelpunkt. Sie schneiden sich im Umkreismittelpunkt.
• Winkelhalbierende: Linien, die jeden Winkel in zwei gleiche Teile teilen. Sie schneiden sich im Inkreismittelpunkt.

Vierecke

Polygone mit vier Seiten und zwei Diagonalen. Die Summe der Innenwinkel beträgt 360 Grad.

Klassifizierung der Parallelogramme:

• Quadrat: Alle Seiten und Winkel sind gleich.
• Rechteck: Jeweils zwei gegenüberliegende Seiten sind gleich; alle Winkel sind gleich (90°).
• Raute (Rhombus): Alle Seiten sind gleich; gegenüberliegende Winkel sind gleich.
• Rhomboid: Jeweils zwei gegenüberliegende Seiten und Winkel sind gleich.

Nicht-Parallelogramme:

• Trapez: Hat zwei parallele Seiten.
• Trapezoid: Keine Seite ist parallel.

Formeln und Berechnungen

• Anzahl der Diagonalen eines Polygons
• Summe der Innenwinkel eines Polygons
• Fläche eines regulären Polygons
• Fläche eines Dreiecks
• Satz des Pythagoras
• Wert eines zentralen Winkels in einem Polygon
• Innenwinkel eines regulären Polygons

Flächeninhalt von Vierecken:

Quadrat	A = a · a
Rechteck	A = b · h
Raute
Rhomboid	A = b · h
Trapez