Geometrie-Lernen: Theorien von Piaget, Van Hiele und Vinner

Piagets Theorie zur geometrischen Entwicklung

Piagets Theorie unterscheidet zwischen Perzeption und Repräsentation.

• Perzeption: Die Erkenntnis von Gegenständen durch direkten Kontakt mit ihnen.
• Repräsentation: Beinhaltet die Evokation (Hervorrufung) der Objekte in der Abwesenheit ihrer Anerkennung.

Die Reihenfolge der Erkenntnis lautet wie folgt:

1. Das Kind erkennt den Ring (er hat ein Loch, was eine topologische Eigenschaft ist).
2. Das Kind erkennt den Kreis (dieser unterscheidet sich deutlich von geraden Seiten, eine projektive Eigenschaft).
3. Es folgen das Quadrat und schließlich das Parallelogramm (dieses hat keine rechten Winkel).

Die Wertschätzung für den Tastsinn erreichen fast alle Kinder im Alter von dreieinhalb Jahren, um Formen wie Kreis, Quadrat, Dreieck und Raute zu erkennen. Aber die Fähigkeit, diese Formen in einer Zeichnung zu reproduzieren, wird langsamer erworben und ist erst mit etwa sieben Jahren vollständig abgeschlossen.

Das Van-Hiele-Modell des geometrischen Denkens

Das Modell von Van Hiele hat zwei wesentliche Aspekte:

• Präskriptiver Aspekt: Er schlägt Leitlinien vor, denen man durch die Organisation des Unterrichts und der Sequenzen folgen sollte, um sich in Schritten von einer Ebene zur nächsten zu bewegen.
• Deskriptiver Aspekt: Er versucht, das geometrische Lernen zu erklären, indem er die geometrischen Kenntnisse eines Individuums in eine Reihe von Ebenen unterteilt. Diese Ebenen beschreiben das Potenzial in diesem Bereich.

Diese Ebenen fungieren als Kette, in der zunehmend eine stärkere Kompetenz und Abstraktion erzielt wird.

Die fünf Ebenen des geometrischen Denkens

• Ebene 0: Visualisierung. Die Objekte des Denkens auf dieser Ebene sind Figuren, die durch ihr Erscheinungsbild in einer globalen Wahrnehmung erfasst werden. Oft werden nicht-wesentliche Attribute beachtet. Die Wahrnehmung der Figuren erfolgt einzeln, ohne auf andere Figuren zu verallgemeinern.
• Ebene 1: Analyse. Die Produkte des Denkens auf dieser Ebene sind die Eigenschaften der Figuren. Durch Beobachten und Experimentieren beginnt das Individuum, die Merkmale der Figuren zu erkennen. Die Argumentation umfasst die Entdeckung und Verallgemeinerung in wenigen Fällen. Definitionen machen hier noch wenig Sinn und können irrelevante Aspekte enthalten.
• Ebene 2: Informelle Deduktion. Die Objekte des Denkens sind weiterhin die Eigenschaften der Figuren. Das Individuum beginnt, Definitionen im mathematischen Sinne zu verstehen. Klassifizierungen sind nicht mehr exklusiv; zum Beispiel wird erkannt, dass ein Quadrat eine spezielle Art von Raute (Diamant) ist, wenn man die Winkel betrachtet.
• Ebene 3: Formale Deduktion. Die Objekte des Denkens sind die Beziehungen zwischen den Eigenschaften. Man ist in der Lage, mit abstrakten Aussagen über Geometrie zu arbeiten und Schlussfolgerungen zu ziehen. Die Intuition basiert mehr auf Logik. Beispielsweise erkennt man nicht nur, dass die Diagonalen eines Rechtecks sich in der Mitte schneiden, sondern sieht die Notwendigkeit, dies deduktiv zu beweisen. Auf dieser Ebene kann man eine Demonstration oder den Nachweis einer Eigenschaft unter bestimmten Vorbedingungen aufbauen.
• Ebene 4: Strenge. Die Objekte des Denkens sind axiomatische Systeme für die Geometrie. Man erkennt die Unterschiede zwischen verschiedenen Axiomensystemen und kann Vergleiche anstellen. Zum Beispiel kann man das Axiom paralleler Linien in der projektiven Geometrie untersuchen und die Ergebnisse mit der euklidischen Geometrie vergleichen. Dies ist die höchste Ebene der Abstraktion.

Die fünf Phasen des Lernprozesses nach Van Hiele

Um von einer Ebene zur nächsten zu gelangen, schlägt Van Hiele fünf Phasen vor:

1. Anfrage / Prüfung: Der Lehrer ermittelt das Vorwissen der Schüler. Einfache Aktivitäten dienen dazu, Informationen über den Wissensstand zu sammeln und spezifisches Vokabular einzuführen (z. B. "Was ist ein Rechteck?", "Was ist ein Quadrat?", "Wie sehen sie aus?").
2. Gebundene Orientierung: Der Lehrer bietet sorgfältig sequenzierte Aktivitäten an, um den Erfolg der Schüler zu gewährleisten. Diese Aktivitäten zeigen schrittweise die Eigenschaften der Studienobjekte auf.
3. Explikation: Die Schüler tauschen ihre Erkenntnisse und Beobachtungen aus der Vergangenheit aus. Die Sprache wird hier zum Werkzeug. Die Rolle des Lehrers ist in dieser Phase minimiert.
4. Freie Orientierung: Den Schülern werden komplexere Aufgaben angeboten, um Vermutungen zu etablieren. Sie müssen entscheiden, wie sie vorgehen, um Probleme zu lösen oder Thesen zu widerlegen. Dies fördert das Interesse an der Untersuchung.
5. Integration: Die Schüler analysieren und fassen das Gelernte zusammen. Sie nehmen eine neue, breitere Perspektive auf das Netz von Objekten und Beziehungen ein. Der Lehrer unterstützt hier bei der Synthese der wichtigsten Punkte.

Am Ende dieser Phasen müssen die Studierenden die Konzeptbildung erreicht haben, um die nächste Ebene des Verständnisses zu betreten.

Vinners Theorie: Konzept und Konzeptbild

In der Theorie von Vinner wird eine Unterscheidung getroffen zwischen:

• Konzept: Das, was sich aus der mathematischen Definition ergibt. Beispiel: Ein Quadrat ist ein Viereck mit vier gleichen Seiten und vier gleich großen Winkeln.
• Image eines Konzepts (Konzeptbild): Die individuelle Idee, die eine Person von einem Konzept hat.

Die Merkmale (Eigenschaften oder Attribute) in jedem Beispiel für ein Konzept können sein:

• Relevante Attribute: Merkmale, die zwingend erfüllt sein müssen, um ein Beispiel des Konzepts zu sein. Beim Quadrat sind dies: Polygon mit vier Seiten, alle Seiten gleich lang, alle Winkel gleich groß.
• Irrelevante Attribute: Eigenschaften, die nicht bei allen Instanzen des Konzepts vorhanden sein müssen. Beim Parallelogramm ist es beispielsweise irrelevant, ob alle Seiten gleich lang sind oder ob es rechte Winkel hat.

Zusätzlich definiert Vinner:

• Definition: Enthält nur relevante Attribute. Sie muss ein Minimum an Attributen enthalten, die ausreichen, um alle anderen Eigenschaften abzuleiten.
• Beispiel: Muss alle relevanten Attribute besitzen, kann aber auch irrelevante Attribute enthalten.
• Gegenbeispiel: Besitzt nicht alle relevanten Attribute, kann aber irrelevante Attribute aufweisen.