Grundlagen der Federkonstante und Schwingungslehre

Das Hookesche Gesetz

Die Verformung ist proportional zur Ursache, durch die sie erzeugt wird. Dass eine Größe oder ein Signal proportional zu einem anderen ist, bedeutet, dass man zwischen den beiden Größen eine Beziehung festlegen kann, indem man eine von ihnen mit einem Proportionalitätskoeffizienten multipliziert.

In unserem Fall entspricht die Ursache der aufgebrachten Kraft und die Verformung der Dehnung, die eine Feder erfahren hat, wenn sie aus ihrer Gleichgewichtslage gebracht wird. Das bedeutet:

F = k · x

Hierbei ist k der Proportionalitätskoeffizient zwischen der angewandten Kraft und der eingetretenen Dehnung. Er entspricht einer elastischen Eigenschaft, der sogenannten Federkonstante, und sein Wert ist:

k = F / x

Im internationalen Einheitensystem wird sie in N/m angegeben. Die Konstante ist ein Merkmal der elastischen Rückstellkraft einer Feder, deren Wert der Kraft entspricht, die aufgebracht werden muss, um eine Einheitsdehnung zu erzeugen. Je nach Größe der Federkonstante k können Federn als „hart“ oder „weich“ eingestuft werden. Eine Feder ist „weich“, wenn ihr Wert sehr klein ist, das heißt, wenn eine geringe Kraft eine hohe Dehnung erzeugt.

Elastische Rückstellkraft

Wenn die Krafteinwirkung auf die Feder endet, erzeugt sie aufgrund ihrer Elastizität eine Kraft, die gleich groß und entgegengesetzt zur erzeugten Verformung ist:

F = -k · x (Zugfeder)

Die Wirkung dieser Kraft besteht darin, die Masse wieder in die Gleichgewichtslage zurückzubringen. Wenn sie jedoch den Gleichgewichtspunkt erreicht, bewegt sie sich aufgrund der Trägheit weiter, bis die Beschleunigung verschwindet. Zu diesem Zeitpunkt ist die Feder komprimiert, sodass eine elastische Kraft erzeugt wird, die versucht, die Masse wieder in die Gleichgewichtslage zu bringen. Ohne Reibung setzt sich dieser Vorgang fort: Die Feder erfährt die gleiche Dehnung wie zuvor.

Oszillierende Bewegung

Die Bewegung der Masse entspricht einem Schwingen zu beiden Seiten eines zentralen Gleichgewichtspunktes, also einer oszillierenden Bewegung. Diese Bewegung wiederholt sich periodisch. Die Zeit für eine vollständige Schwingung wird als Schwingungsdauer (T) bezeichnet, die Anzahl der Schwingungen pro Zeit als Frequenz (f).

Betrachten wir das 2. Newtonsche Gesetz und setzen die elastische Federkraft als die Kraft ein, die die Bewegung erzeugt, erhalten wir unter Berücksichtigung der Trägheitskraft:

-k · x = m · a = m · (d²x / dt²)

Dies führt zur Differentialgleichung:

m · a + k · x = 0

Dies ist die Differentialgleichung der Schwingungen. Die Funktion, die die Position (Dehnung) in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt, entspricht einer linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten.

Teilt man den vorherigen Ausdruck durch die Masse m, erhält man:

a + (k / m) · x = a + ω² · x = 0