Grundlagen zu Folgen, Reihen und Funktionen

Definition von Folgen

Die Sequenzen sind unbegrenzte Folgen von reellen Zahlen. Jede der Zahlen in dieser Form ist ein Begriff und wird mit einem Buchstaben oder Index bezeichnet, der die Position in der Folge angibt. Der allgemeine Begriff ist der algebraische Ausdruck, der zur Berechnung jedes Begriffs in Abhängigkeit vom Index dient.

Rekursive Folgen

Rekursive Folgen sind Begriffe, die auf der Grundlage eines oder mehrerer vorheriger Begriffe nach einem bekannten algebraischen Ausdruck definiert werden.

Arithmetische und geometrische Folgen

• Eine Folge von rationalen Zahlen ist eine arithmetische Progression, wenn jeder Begriff aus dem vorherigen durch Addition einer festen Zahl, der Differenz d, gewonnen wird. Der allgemeine Begriff lautet: a_n = a₁ + (n-1) * d.
• Eine Folge von rationalen Zahlen ist eine geometrische Progression, wenn jeder Begriff aus dem vorherigen durch Multiplikation mit einer festen Zahl, dem Quotienten r, gewonnen wird. Der allgemeine Begriff lautet: a_n = a₁ * r^n-1.

Grundlagen der Funktionen

Wenn eine Abhängigkeit zwischen zwei Größen besteht, bei der eine Größe im Hinblick auf die andere ausgedrückt wird, spricht man von einer Beziehung. Eine Beziehung zwischen zwei Größen wird als Funktion bezeichnet, wenn jedem Wert der ersten Größe genau ein Wert der zweiten Größe zugeordnet wird, den man Bild nennt.

• Die Variable, die vorgegeben wird, ist die unabhängige Variable.
• Die Variable, die von der unabhängigen Variablen abgeleitet wird, ist die abhängige Variable.

Stetigkeit und Diskontinuität

Eine Funktion ist stetig, wenn geringe Schwankungen der unabhängigen Variablen nur zu kleinen Variationen der abhängigen Variablen führen und keine Unstetigkeitsstellen vorliegen. Eine Funktion ist diskontinuierlich, wenn Sprünge oder Unterbrechungen im Verlauf auftreten.

Variationsrate und Monotonie

Die Variationsrate einer Funktion f(x) in einem Intervall [a, b] beschreibt die Zunahme oder Abnahme der Funktion, wenn die unabhängige Variable von a nach b wechselt: T[a, b] = f(b) - f(a).

• Eine Funktion ist wachsend in einem Intervall, wenn für jedes Paar von Werten in diesem Intervall die Variationsrate positiv ist.
• Eine Funktion ist fallend in einem Intervall, wenn die Variationsrate negativ ist.

Extrempunkte

Eine stetige Funktion besitzt an einem Punkt ein relatives Maximum, wenn die Funktion links davon steigt und rechts davon fällt. Ein relatives Minimum liegt vor, wenn die Funktion links davon fällt und rechts davon steigt.

Lineare Funktionen

Funktionen der Form y = mx + n werden als lineare Funktionen bezeichnet, da ihr Graph eine Gerade ist.