Grundlagen der Mathematik: Geometrie und Funktionen

Grundlagen der Mathematik

Eine Größe ist alles, was gemessen oder gezählt werden kann.

Proportionalität

• Direkt proportional: Wenn eine Größe durch eine Zahl geteilt wird, muss die andere durch dieselbe Zahl multipliziert werden (z. B. Geschwindigkeit und Zeit). Ihr Produkt ist konstant.
• Umgekehrt proportional: Wenn eine Größe mit einer Zahl multipliziert oder durch sie geteilt wird, wird die andere entsprechend multipliziert oder dividiert.

Zahlenfolgen

Eine Sequenz ist eine unendliche Menge von Zahlen, die so angeordnet sind, dass es immer ein erstes, aber kein letztes Glied gibt. Jede Zahl der Folge heißt Term, der allgemeine Term wird als n-tes Glied bezeichnet.

• Arithmetische Folge: Jedes Glied (außer dem ersten) ergibt sich aus der vorherigen Zahl plus einer Konstanten, der Differenz.
• Geometrische Folge: Jedes Glied (außer dem ersten) ergibt sich durch Multiplikation der vorherigen Zahl mit einer festen Konstanten, dem Quotienten.

Geometrische Orte und Begriffe

• Geometrischer Ort: Eine Menge von Punkten, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen (z. B. ein Kreis).
• Kreis: Die Menge aller Punkte in einer Ebene, die von einem festen Punkt (Mittelpunkt) den gleichen Abstand (Radius) haben.
• Winkelhalbierende: Der Ort der Punkte, die von den beiden Schenkeln eines Winkels gleich weit entfernt sind.
• Mittelsenkrechte: Der Ort der Punkte, die von den Enden einer Strecke gleich weit entfernt sind.
• Abstand zwischen zwei Punkten: Die kürzeste Verbindung, eine gerade Linie senkrecht zur Bezugslinie.
• Seitenhalbierende: Verbindung einer Ecke mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite.
• Umkreis-Mittelpunkt (Circumcenter): Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks.
• Höhe eines Dreiecks: Strecke von einer Ecke senkrecht auf die gegenüberliegende Seite.
• Inkreis-Mittelpunkt (Incenter): Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden eines Dreiecks.

Sätze der Geometrie

• Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate der Katheten gleich dem Quadrat der Hypotenuse.
• Höhensatz: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Höhe gleich dem Produkt der Hypotenusenabschnitte (h² = p · q).
• Kathetensatz: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat einer Kathete gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt (a² = c · p).
• Satz des Thales: Wird in einem Dreieck eine Parallele zu einer Seite gezogen, so entstehen proportionale Abschnitte auf den anderen Seiten. Ein durch eine Parallele abgetrenntes Dreieck ist ähnlich zum ursprünglichen Dreieck.
• Winkelsumme im Polygon: Die Summe der Innenwinkel eines konvexen Polygons beträgt 180° · (n - 2), wobei n die Anzahl der Ecken ist.

Körper und Funktionen

• Polyeder: Ein Körper, der von Polygonen begrenzt wird.
• Prisma: Ein Polyeder mit zwei identischen Vielecken als Grundflächen und rechteckigen Seitenflächen.
• Funktion: Eine Zuordnung zwischen zwei Mengen, bei der jedem Element der ersten Menge (Definitionsbereich) genau ein Element der zweiten Menge (Wertebereich) zugeordnet wird.
• Gleichungslösung: Der Wert für x, der durch Substitution die Gleichung erfüllt.