Grundlagen der Mechanik, Gravitation und Wellenlehre

Drehimpuls eines Teilchens

Der Drehimpuls eines Teilchens um einen Punkt O ist das Vektorprodukt aus seinem Ortsvektor in Bezug auf diesen Punkt und seinem Impuls. Der Drehimpuls wird in der SI-Einheit kg · m²/s gemessen. Er ist ein Vektor, der senkrecht auf dem Ortsvektor r und dem Geschwindigkeitsvektor v steht.

Seine Größe beträgt L = r · p · sin(θ), wobei θ der Winkel zwischen r und v ist. Wenn r und v parallel sind, ist der Drehimpuls null. Der Drehimpuls charakterisiert die Drehbewegung des Teilchens.

Variation des Drehimpulses

Die Änderung des Drehimpulses wird durch das Drehmoment M definiert, das über denselben Punkt O als Vektorprodukt aus r und der Kraft F berechnet wird. Dies ist grundlegend für das Studium von Rotationen: Das Drehmoment neigt dazu, die Richtung der Bewegung zu ändern.

Erhaltungssatz des Drehimpulses

Wenn die Nettokraft auf das Teilchen null ist, bleibt der Drehimpuls erhalten. Dies geschieht, wenn die resultierende Kraft null ist oder wenn die Kraft parallel zu r wirkt, wie es bei Zentralkräften der Fall ist.

Keplersche Gesetze

Die drei empirischen Gesetze wurden von Johannes Kepler im 17. Jahrhundert formuliert, um die Planetenbewegung um die Sonne zu beschreiben:

• 1. Gesetz (Gesetz der Bahnen): Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
• 2. Gesetz (Flächensatz): Der Fahrstrahl von der Sonne zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Dies bedeutet, dass die Bahngeschwindigkeit des Planeten zunimmt, je näher er der Sonne kommt. Dieses Gesetz ist äquivalent zur Erhaltung des Drehimpulses.
• 3. Gesetz (Gesetz der Umlaufzeiten): Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten sind proportional zur dritten Potenz ihrer mittleren Entfernungen von der Sonne.

Eine Folge daraus ist, dass die Bahngeschwindigkeit nicht konstant ist, sondern vom Bahnradius abhängt: Ein Planet bewegt sich schneller, je kleiner seine Umlaufbahn ist. Keplers Gesetze wurden später durch das Gravitationsgesetz von Newton theoretisch begründet.

Gesetz der universellen Gravitation

Das von Newton im 17. Jahrhundert formulierte Gesetz erklärt die Gravitation (z. B. Planetenbewegungen, Gezeiten oder den freien Fall). Es besagt:

Jeder Körper im Universum zieht jeden anderen Körper mit einer Zentralkraft an, die proportional zum Produkt der Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung zwischen ihnen ist. Mathematisch gilt:

F = G · (m₁ · m₂) / r²

Das Minuszeichen verdeutlicht, dass die Kraft anziehend wirkt. G ist die experimentell bestimmte Gravitationskonstante. Die Gleichung gilt für beide Massen gleichermaßen (Actio gleich Reactio). Bei mehreren Teilchen ist die resultierende Gravitationskraft die Vektorsumme der Einzelkräfte.

Potentielle Energie

Da die Gravitationskraft eine konservative Kraft ist, existiert eine zugehörige potentielle Energie. Die potentielle Energie eines Teilchens der Masse m₁ in einer Entfernung r von einer Masse m₂ ist:

U = -G · (m₁ · m₂) / r

Hierbei ist die potentielle Energie im Unendlichen als null definiert. Die SI-Einheit ist das Joule. Bei Systemen mit mehr als zwei Massen ist die Gesamtenergie die Summe der potentiellen Energien aller Paare. Körper streben spontan Regionen niedrigerer potentieller Energie zu.

Arten von Wellen

Wellen lassen sich nach verschiedenen Kriterien klassifizieren:

Nach dem Ausbreitungsmedium

• Ohne materielles Medium: Elektromagnetische und Gravitationswellen (z. B. Licht, Radiowellen, UV-Strahlen).
• Mit materiellem Medium: Mechanische Wellen wie Schallwellen oder Schwingungen einer Saite.

Nach der Schwingungsrichtung

• Transversalwellen: Schwingung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (z. B. Saitenschwingung).
• Longitudinalwellen: Schwingung in Ausbreitungsrichtung (z. B. Schallwellen).

Nach der Dimension

• Eindimensional: Schwingungen auf einer Saite.
• Zweidimensional: Wellen auf einer Wasseroberfläche.
• Dreidimensional: Licht- und Schallwellen.

Huygens-Prinzip

Das Huygens-Prinzip beschreibt die Ausbreitung von Wellenfronten: Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt einer Sekundärwelle. Die Einhüllende dieser Sekundärwellen bildet die neue Wellenfront. Dies erklärt Phänomene wie die Beugung an Hindernissen. Strahlen sind dabei stets senkrecht zu den Wellenfronten orientiert. Ursprünglich für mechanische Wellen formuliert, wurde das Prinzip später durch Kirchhoff auf elektromagnetische Wellen erweitert.