Grundlagen der statistischen Hypothesentests

Statistische Hypothesen

Eine statistische Hypothese ist eine Aussage über bestimmte Merkmale oder Parameter einer Grundgesamtheit, um eine Analyse durchzuführen. Sie kann abgelehnt oder – unter Angabe einer Alternative – akzeptiert werden.

Grundbegriffe der Testtheorie

• Signifikanzniveau (Alpha): Die Fehlerquote Typ I, die man bereit ist zu tolerieren. Definiert als: α = P(H₀ ablehnen | H₀ wahr).
• Fehler Typ II (Beta): Definiert als: β = P(H₀ akzeptieren | H₁ wahr).
• Power of Contrast (Teststärke): Die Wahrscheinlichkeit, eine falsche Nullhypothese abzulehnen: 1 - β.
• Statistik: Jeder Wert, der aus einer Stichprobe gewonnen wird.
• Akzeptanzbereich: Die Spanne der möglichen Werte der Teststatistik, die zur Annahme der Nullhypothese führen.
• Kritischer Bereich: Der Bereich der Verteilung, der zur Ablehnung der Nullhypothese führt.
• Konfidenzniveau: Ein theoretischer Wert für die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Konfidenzintervall den wahren Populationsparameter umfasst.
• Statistische Inferenz: Prozess, durch den Schlussfolgerungen über die Grundgesamtheit aus einer Stichprobe gezogen werden.

Newman-Pearson-Satz

Dient dazu, einen optimalen und zuverlässigen kritischen Bereich zu finden. Voraussetzungen für die Anwendung:

1. Die Hypothesen H₀ und H₁ sollten einfach sein.
2. Eine Stichprobe vom Umfang n ist erforderlich.
3. Festlegung des Signifikanzniveaus (Größe des Typ-I-Fehlers).
4. Bestimmung der Likelihood-Funktionen L₀ (unter H₀) und L₁ (unter H₁).
5. Berechnung des Quotienten L₀ / L₁ ≤ k, wobei k eine positive Konstante ist.

Zusammenhang zwischen Typ-I- und Typ-II-Fehlern

• β ist nicht das Komplement von α (das Komplement von α ist 1-α).
• Bei gegebenem n sind α und β invers korreliert: Wenn α sinkt, steigt β.
• Beide Fehler hängen von der Stichprobengröße, dem Parameterwert und der Art des Kontrasts ab.

Ablauf eines statistischen Kontrasts

1. Definition der Null- und Alternativhypothese.
2. Wahl des Signifikanzniveaus.
3. Überprüfung der Hypothesen.
4. Entscheidung, ob die berechnete Teststatistik zur Ablehnung oder Annahme führt.

Weitere Testverfahren

Gleichmäßig mächtigster Bereich (UMP)

Ein Bereich, der nach Newman-Pearson funktioniert, aber für jeden Parameterwert der Alternative gilt, sofern dieser auf derselben Seite liegt.

Likelihood-Quotienten-Test

Ein allgemeines Verfahren, das auch dann angewendet werden kann, wenn der Newman-Pearson-Satz nicht greift:

• Stimmt im Fall einfacher Hypothesen mit Newman-Pearson überein.
• Garantierte keine optimale Teststärke.
• Besitzt gute Eigenschaften bei großen Stichproben (n ≥ 30).