Grundlagen der Technischen Mechanik und Thermodynamik

Steinerscher Satz

Der Steinersche Satz dient der Bestimmung des Trägheitsmoments um eine Symmetrieachse, da die Bestimmung durch Integration recht kompliziert sein kann. Das Steiner-Theorem ermöglicht eine stark vereinfachte Bestimmung. Es stellt eine Beziehung zwischen dem Trägheitsmoment um eine Achse durch einen beliebigen Punkt der Ebene und dem Trägheitsmoment um eine parallele Achse durch den Massenmittelpunkt (Zentrum der Masse) her.

Formel:
I_e = ∫ (x² + y²) dm = ∫ [x² + (d + y)²] dm = ∫ (x² + y²) dm + 2d ∫ y dm + d² ∫ dm = I_z + Md²

Grafische Bestimmung des Momentanpols (CIR)

a) Die Geschwindigkeiten sind nicht parallel: Die Geschwindigkeit muss senkrecht zu einer Richtung stehen, die durch den CIR (Momentanpol) gezogen wird. Der Schnittpunkt dieser Senkrechten an den Angriffspunkten ergibt den CIR.

b) Die Geschwindigkeiten sind parallel: Es werden zwei Linien gezogen: eine durch die Angriffspunkte und eine weitere durch deren Enden. Der Schnittpunkt dieser Linien markiert den CIR.

Erhaltung der mechanischen Energie

Wirken nur konservative Kräfte auf ein Teilchen, entspricht die verrichtete Arbeit der Abnahme der potentiellen Energie sowie der Zunahme der kinetischen Energie des Teilchens: -ΔU = W = ΔK. Daraus ergibt sich ΔK + ΔU = 0 und somit E_m = K + U = konstant, sofern nur konservative Kräfte auf das Teilchen wirken.

Satz über die Arbeit der aktiven Kräfte

W_total = W_konservativ + W_{nicht-konservativ} = ΔK
W_konservativ = K(B) - K(A). Ersetzt man den Ausdruck für die konservative Arbeit, ergibt sich:
E_p(A) - E_p(B) + W_{nicht-konservativ} = E_k(B) - E_k(A).
Gruppiert man dies um: E_p(A) + E_k(A) + W_{nicht-konservativ} = E_p(B) + E_k(B).
Da E_m = E_p + E_k, gilt: E_m(A) + W_{nicht-konservativ} = E_m(B).

Ist W_{nicht-konservativ} Reibungsarbeit, ist der Wert negativ; bei Motorarbeit ist er positiv.

Spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck/Volumen

• C_p: Die Wärme, die ausgetauscht werden muss, um 1 kg eines Gases bei konstantem Druck um ein Grad zu erwärmen.
• C_v: Die gleiche Definition, jedoch bei konstantem Volumen.

Eigenschaft: Temperatur

Die Temperatur ist ein gemeinsames Merkmal von Systemen im thermodynamischen Gleichgewicht. Sie wird mit einem Thermometer gemessen, das sich im thermischen Gleichgewicht mit dem System befindet.

Das Joulesche Gesetz

Der Übergang von Ladungsträgern von einem höheren zu einem niedrigeren Potenzial ist aufgrund der potenziellen Energie (E_p) möglich. Diese Energie wird in kinetische Energie umgewandelt, was zu einer schnellen Bewegung der Teilchen führt. Aufgrund vielfältiger Wechselwirkungen zwischen den Teilchen wird diese Energie in Wärme umgewandelt. Diese Wärme erhöht die Temperatur des Leiters und wird an die Luft abgegeben.

Herleitung:
dq = I dt; V₁ - V₂ = IR; W = dq(V₁ - V₂).
Daraus folgt: W = I² R t. In der Regel wird dies als Leistung ausgedrückt (Energie pro Zeit): P = I² R.

Der Hall-Effekt

Entstehung eines elektrischen Feldes in einem Leiter innerhalb eines Magnetfeldes. Wenn ein Leiter oder Halbleitermaterial von Strom durchflossen wird und sich in einem Magnetfeld befindet, wirkt eine magnetische Kraft. Diese führt zu einer Umgruppierung der Ladungsträger, wodurch eine Spannung und somit ein elektrisches Feld entsteht, das senkrecht zum Magnetfeld und zum ursprünglichen elektrischen Feld steht. Dieses neue Feld wird als Hall-Feld bezeichnet.

Quantitative Erklärung:
F_e = F_m → e E = e v B → E = v B.
Da V₁ - V₂ = E d, gilt: V₁ - V₂ = v B d.

Das entstandene elektrische Feld erfüllt im Gleichgewicht mit dem Magnetfeld den oben genannten Ausdruck.