Grundlagen der Trigonometrie und Geometrie

Messen von Winkeln

Ein Winkel kann auf drei Arten gemessen werden:

1. In Grad: Der Umfang beträgt 360°, eingeteilt in ebenso viele Teile. Jeder Teil stellt einen Winkel mit dem Scheitel in der Mitte des Kreises (Sexagesimalgrad) dar und wird mit 1° angegeben.
2. In Neugrad (Gon): Der Umfang ist in 400 gleiche Teile gegliedert. Jeder Teil stellt einen Winkel mit dem Scheitel in der Mitte des Kreises dar (Messung eines Neugrads) und wird mit 1 gon (oder 1^g) angegeben.
3. In Bogenmaß (Radiant): Ein Winkel von 1 Radiant ist ein Winkel, dessen Bogen am Umfang die gleiche Länge wie der Radius des Kreises hat. Er wird durch die Bezeichnung rad angegeben.

Definition von Sinus, Cosinus und Tangens

• Sinus: Bei einem spitzen Winkel das Verhältnis zwischen der Gegenkathete und der Hypotenuse.
• Cosinus: Bei einem spitzen Winkel das Verhältnis zwischen der Ankathete und der Hypotenuse.
• Tangens: Bei einem spitzen Winkel das Verhältnis zwischen der Gegenkathete und der Ankathete.

Abbildung und Formeln

sin(β) = b / a; cos(β) = c / a; tan(β) = b / c

Der Kathetensatz

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat einer Kathete gleich dem Produkt aus der Hypotenuse und deren Projektion auf diese.

Beweis (Demonstration)

In dem Dreieck ABC gilt: cos(∠CBA) = c / a

Und in dem Dreieck AMB gilt: cos(∠MAC) = c' / c

Daraus folgt: c / a = c' / c => c² = c' · a

Ebenso wird gezeigt, dass b² = b' · a. Dies war zu beweisen.

Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht die Summe der Quadrate der Katheten dem Quadrat der Hypotenuse.

Beweis (Demonstration)

Betrachten wir ein Quadrat, dessen Seiten eine Markierung im Abstand c haben, wie in der Abbildung gezeigt.

Das äußere Quadrat wird unterteilt in ein inneres Quadrat sowie vier rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten b und c und der Hypotenuse a.

In der vorherigen Abbildung zeigt sich, dass die Fläche des äußeren Quadrats (b + c)² gleich der Summe der Fläche des inneren Quadrats a² und der Flächen der vier Dreiecke 4 · (b · c) / 2 ist.

Das heißt: (b + c)² = a² + 2bc

Daraus folgt: a² = b² + c²

Dies war zu beweisen.

Der Höhensatz

In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Höhe über der Hypotenuse gleich dem Produkt der Projektionen der Katheten auf die Hypotenuse.

Beweis (Demonstration)

Siehe beigefügte Abbildung. Hier sehen wir, dass der Winkel ∠MAC gleich dem Winkel ∠MBA ist. Daher gilt:

tan(∠MBA) = h / c' und tan(∠MAC) = b' / h

Daraus ergibt sich: h / c' = b' / h bzw. h² = b' · c'

Das ist es, was wir beweisen wollten.