Lineare Algebra: LU-Zerlegung, Basen und Matrizen

LU- und Cholesky-Zerlegung

A = LU, wobei U eine obere Dreiecksmatrix ist (Typ i > j).

Wenn u_ii ≠ 0, gilt: L = [Elementare Operationen rückwärts]^-1.

• L = Identitätsmatrix + Elementare Operationen (mit umgekehrten Vorzeichen).

Cholesky-Zerlegung

Voraussetzung: Eine symmetrische und positiv definite Matrix.

• Kriterium: Alle Hauptminoren bzw. die Diagonalelemente von U müssen positiv sein.
• A = R^tR, wobei R eine obere Dreiecksmatrix mit positiver Diagonale ist (R = D^1/2L^t, also LU = LDL^t).

Basen und Vektorräume

Verfahren:

• Wir ersetzen Vektoren in der Basis, um zu prüfen, ob die neue Menge eine Basis bildet.
• Rangbestimmung: dim(U) = Rang(A) = Rang(U).

Basiswechsel

P_CB = Basiswechselmatrix von C nach B (Vektoren von C ausgedrückt in B in den Spalten).

Formel: X_B = P_CB · X_C

P_BC = (P_CB)^-1 (Berechnung durch elementare Zeilenoperationen).

Lineare Abbildungen

Für eine Abbildung f: V → W gilt:

• dim(im(f)) ≤ dim(V) und dim(im(f)) ≤ dim(W).
• Injektiv: Verschiedene Elemente haben verschiedene Bilder.
• Bijektiv: Wenn f bijektiv ist und B = (v₁, ..., v_n) eine Basis von V, dann ist f(B) = (f(v₁), ..., f(v_n)) eine Basis von W.

Matrizen von Abbildungen

M(f)_BC · X_B = Y_C, wobei Y_C = [f(v)]_C und X_B = [v]_B.

Basiswechsel bei Abbildungen:

• M(f)_B'C' = Q_CC' · M(f)_BC · P_B'B
• M(f)_B' = (P_B'B)^-1 · M(f)_B · P_B'B
• M(g ∘ f)_BD = M(g)_CD · M(f)_BC

Rang, Kern und Bild

rg(f) = dim(im(f)) = rg(M(f)_BC).

• Surjektiv: f ist surjektiv, wenn rg(f) = dim(W).
• Kern: ker(f) = {v ∈ V | f(v) = 0_W}.
• Injektiv: f ist injektiv, wenn ker(f) = {0_V}.
• Dimensionssatz: dim(ker(f)) + dim(im(f)) = dim(V)

f ist bijektiv (Isomorphismus), wenn det(M(f)_BC) ≠ 0.

M(f^-1)_CB = [M(f)_BC]^-1