Lineare Algebra und Matrizenrechnung

Bilinearformen und Symmetrische Matrizen

w(x) = x^t A x // M(w)_c = 1/2 * (A + A^t) mat. asociada (symmetrisch) kanonische Basis für C

M(w)_b = (P_BC)^t · M(w)_c · P_BC

rg(w) = rg(A) = rg(M(w)_c) // Wenn rg(w) = max -> NO DEG

Wenn rg(w) < max -> DEGENERADOS

(A | I_n) (A symmetrisch) -> OE in Reihen, diese abwechselnd in col OE -> (D | P^t [BC])

SO ES MIT SUCHE KE Nullen Nullen DO in der Diagonale.

W räumt nichtausgeartete orthonormale if (rg Maximum) oder elem. diag. D Null.

Sie M(w)_b = Identity

sig(w) = sig(A) = (p, r_p); rg(w) = p + r_p immer wieder in das Symbol Matrix diag.

Sylvester-Kriterium

Kinder diag Ser. A

A_k > 0 -> def setzen // (-1)^k A_k > 0 -> def. negat.

Orthogonalisierung und QR-Zerlegung

Gram-Schmidt-Prozess

u₁ = e₁ / |e₁| // w'₂ = e₂ - <e₂, u₁> u₁

u₂ = w'₂ / |w'₂| // u'₃ = e₂ - (e₃ * U₁) U₁ - (e₃ * u₂) u₂

QR-Zerlegung

QR: A ∈ M_{m x n}, rg(A) = k, ist Q / Q = Q^t * E_yeko (Seine Kolumnen orthonormale) und es

R triang. sup. mit elem. diag. setzen. und Reichweite(R) = k, so dass A = QR. rang(A) = Rang(R) = Rang(Q) = k

COL: Q₁ = a₁ / |a₁| null Vektoren sind nicht berücksichtigt

Q = [Q₁ | Q₂ | ... | q_k] Q R ∈ M_{m x k} k x n R = Q^t * A

Eigenwerte und Eigenvektoren

Es gibt λ ∈ R, so dass Ax = λx. Die vect. propios nicht Null sein und nur eine

Eigenwert. Die vect. jeder Eigenwert erzeugen ein Unterraum.

det(x) = det(A - x E_yen)

Diagonalisierbarkeit

Ein diagonalizable: AP = PD ---> P^-1 AP = D In jedem Eigenwert, ma = mg. Die Wurzeln sind in K inbegriffen.

mg(x) = dim(ker(A - x E_yeN)) = n - Rang(A - x E_yeN)

Wenn m = 1 mg = 1 (einfache Eigenwerte)

V(x) = ker(A - x E_yeN) = ((x, y, ..., z, t) / (A - x E_yeN)(x, y, ..., z, t)^t = (0, ..., 0)^t)

Die Matte. P ist mit den Vektoren der Grundlagen der Teilräume von gebaut

COL Eigenwerte wie man sie in Ordnung.

Die Summe der Eigenwerte hat ke auf die Spur. Größe und Eigenwerte = det(λ)?

A und B gleich: P^-1 AP = B

Matrixexponential und Trigonometrische Funktionen

det(e^A) = e^tr(A)

Wenn A = 0 -> e⁰ = E_yen

und e^mA = [e^A]^m

A = (a, b; b, a), b von 0 verschieden, und e^At = e^a (cos(b), sin(b); -sin(b), cos(b))

sin²(A) + cos²(A) = E_yen; cos(2A) = 2 cos²(A) - E_yen; sin(2A) = 2 sin(A) cos(A)

cos(A) = (e^iA + e^-iA) / 2

sin(A) = (e^iA - e^-iA) / 2i