Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten lösen

Thema 5: Lineare Gleichungen ersten Grades

Lineare Gleichungen ersten Grades sind algebraische Ausdrücke mit mehreren Unbekannten. Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten entsprechen der allgemeinen Gleichung: ax + by = c.

Lösung einer linearen Gleichung

Die Lösung einer linearen Gleichung ist jedes Paar von Werten der Unbekannten, welches die Gleichung erfüllt. Seien x₁, y₁ reelle Zahlen; dieses Zahlenpaar ist die Lösung der linearen Gleichung mit zwei Unbekannten, wenn gilt: ax₁ + by₁ = c. Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten hat unendlich viele Lösungen.

Grafische Darstellung

Die Gleichung ax + by = c stellt eine Gerade dar. Jede grafische Darstellung dieser Linie entspricht einer Lösung der Gleichung.

Systeme von linearen Gleichungen

Ein lineares System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten ist ein algebraischer Ausdruck der Form:

ax + by = c
a'x + b'y = c'

Lösung eines linearen Systems

Die Lösung eines linearen Systems ist jedes Paar von Werten der Unbekannten (x₁, y₁), das beide Gleichungen des Systems erfüllt. Zwei lineare Systeme sind äquivalent, wenn sie die gleiche Lösung haben.

Auflösung

Die grafische Lösung des Systems ist der Schnittpunkt der beiden Geraden, die durch die Gleichungen repräsentiert werden.

Analytische Auflösung

• a) Einsetzungsverfahren (Ersatz-Modus): Man löst eine der Unbekannten in einer der Gleichungen auf. Dieser Ausdruck wird in die andere Gleichung eingesetzt. Die so erhaltene lineare Gleichung mit einer Unbekannten wird gelöst. Mit dem berechneten Wert ermittelt man die andere Unbekannte durch Einsetzen in die Gleichung aus dem ersten Schritt.
• b) Gleichsetzungsverfahren: Man löst in beiden Gleichungen dieselbe Unbekannte auf. Die erhaltenen Ausdrücke werden gleichgesetzt und die resultierende Gleichung gelöst. Anschließend berechnet man den Wert der anderen Unbekannten, indem man den gefundenen Wert in eine der Gleichungen einsetzt.
• c) Additionsverfahren (Reduktionsmethode): Man bringt die Koeffizienten einer Unbekannten auf das gleiche Niveau (kleinstes gemeinsames Vielfaches). Durch Addieren oder Subtrahieren der beiden Gleichungen wird diese Unbekannte eliminiert. Die erhaltene Gleichung wird gelöst und der Wert in die erste Gleichung eingesetzt, um die andere Unbekannte zu berechnen.

Diskussion eines Systems von zwei Unbekannten

Das System lautet:
ax + by = c
a'x + b'y = c'

• a) Wenn a/a' ≠ b/b': Das System ist eindeutig lösbar (kompatibel und bestimmt). Die grafische Lösung sind zwei sich schneidende Geraden (Sekanten).
• b) Wenn a/a' = b/b' ≠ c/c': Das System ist unlösbar (inkonsistent). Es gibt keine Lösung und die Geraden verlaufen parallel.
• c) Wenn a/a' = b/b' = c/c': Das System ist unbestimmt. Es gibt unendlich viele Lösungen, da es sich um identische Geraden handelt.