Mathematik-Formelsammlung: Analysis, Algebra & Geometrie

Kurvendiskussion, Lineare Algebra und Geometrie

1. Funktionsuntersuchung (Kurvendiskussion)

Definition der Funktion: Untersuchung von Symmetrie, Schnittpunkten mit den Achsen und Asymptoten.

• Vertikale Asymptoten: Treten auf, wenn der Nenner verschwindet.
• Horizontale Asymptoten: Grenzwerte der Funktion für x gegen Unendlich.
• Schräge Asymptoten: Treten bei rationalen Funktionen auf, wenn der Grad des Zählers größer als der des Nenners ist (Berechnung durch Polynomdivision).

Monotonie: Untersuchung der ersten Ableitung; Prüfung der Punkte vor und nach den kritischen Stellen.
Krümmung und Wendepunkte (Flexion): Untersuchung der zweiten Ableitung. Ist die zweite Ableitung < 0, ist die Funktion abnehmend/konvex; ist sie > 0, ist sie wachsend/konkav. Abschließend erfolgt die Erstellung einer Wertetabelle.

2. Satz von Rouché-Frobenius für Gleichungssysteme

Homogene Systeme: Wenn der Rang(A) = n, ist das System kompatibel und bestimmt. Wenn der Rang(A) < n, ist es kompatibel und indeterminiert (unendlich viele Lösungen).
Nicht-homogene Systeme: Das System ist unvereinbar (inkonsistent), wenn der Rang(A) ungleich dem Rang der erweiterten Matrix (A|B) ist.

Vorgehensweise zur Lösung:

1. Berechnung des Rangs mittels Determinanten.
2. Lösung des Systems mit dem Gauß-Verfahren.

Ein System linearer Gleichungen ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist.

3. Praktische Methoden zur Systemdiskussion

Die beste Prüfung erfolgt fast immer über die erweiterte Matrix, indem man den Rang durch Überführung in die Stufenform ermittelt. Besondere Fälle: Wenn die Anzahl der Gleichungen der Anzahl der Unbekannten entspricht und die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist, ist das System bestimmt lösbar. Ist die Determinante gleich Null, berechnet man den Rang der erweiterten Matrix durch Staffelung und vergleicht die Ränge.

4. Analytische Geometrie: Abstände und Volumina

Abstand zweier Punkte: d(A, B) = |AB| = √((x2 - x1)2 + ...)
Abstand Punkt zu Ebene: d(P, π) = |Ax1 + By2 + Cz3 + D| / √(A2 + B2 + C2)
Abstand zweier Ebenen: d(π1, π2) = |D' - D| / √(A2 + B2 + C2)
Abstand Punkt zu Gerade: Eine senkrechte Ebene durch P konstruieren; M ist der Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden r: d(P, r) = d(P, M).
Abstand Ebene zu Gerade: Zuerst prüfen, ob sie parallel sind (Skalarprodukt = 0). Dann einen beliebigen Punkt der Geraden wählen und die Punkt-Ebene-Formel anwenden.
Abstand zweier Geraden: Ebene konstruieren, Punkt M bestimmen: d(r, s) = d(P, M).
Abstand zwischen windschiefen Geraden: Vektoren und Punkte bestimmen, in die Determinantengleichung einsetzen und mit der Punkt-Ebene-Formel d(P, π) berechnen.

Flächeninhalt Dreieck: At = 1/2 |u × v| (Kreuzprodukt zweier Vektoren).
Volumen Tetraeder: V = 1/6 |a · (b × c)| (Spatprodukt aus drei Vektoren).