Mathematische Grundlagen: Potenzen, Wurzeln und Polynome

Potenzen

Formel: Power = (Basis)^Exponent

Eigenschaften der Potenzen

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• 8.
• 9.

Wissenschaftliche Schreibweise

• A) M^t zeigt die Anzahl der Nullen auf der rechten Seite an.
• B) M^-t zeigt die Anzahl der Zehntel an.

Hinweis: Wenn eine Zehnerpotenz vorliegt und m positiv ist, werden Nullen an die Zahl angehängt, entsprechend dem Wert von m.

Wurzeln

• A) Numerische Werte einer Wurzel: Ist der Radikand eine positive Zahl, ist die Lösung eine eindeutige positive Wurzel.
• B) Ist der Radikand negativ und der Index ungerade, ist die Lösung eine negative Wurzel.
• C) Bei positivem Radikanden und geradem Index gibt es eine positive und eine negative Lösung.
• D) Bei negativem Radikanden und geradem Index gibt es keine Lösung im Bereich der reellen Zahlen.

Potenzschreibweise von Wurzeln: Der Radikand wird als Basis verwendet, der Exponent ist ein Bruch, wobei der Zähler der Exponent des Radikanden und der Nenner der Wurzelexponent ist.

Operationen mit Wurzeln

Faktorisierung der Wurzel:

• Dividiere die Exponenten jedes Faktors durch den Index (sofern der Exponent gleich oder größer als der Index ist).
• Das Ergebnis der Division ist die Anzahl der Faktoren außerhalb der Wurzel, der Rest verbleibt innerhalb der Wurzel.

Produkte und Divisionen:

• Bestimme das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Indizes.
• Erweitere jeden Radikanden entsprechend dem Faktor, mit dem der Index multipliziert wurde.
• Der neue Index ist das kgV.
• Multipliziere die Koeffizienten.

Vereinfachung (Rationalisieren)

1. Nenner ist eine Quadratwurzel: Multipliziere Zähler und Nenner mit der Wurzel.
2. Nenner-Index größer als 2: Multipliziere Zähler und Nenner mit der Wurzel des Nenners, wobei der Exponent die Differenz zwischen dem Wurzelexponenten und dem Exponenten des Radikanden ist.
3. Nenner ist ein Binom: Multipliziere Zähler und Nenner mit dem konjugierten Binom des Nenners (z. B. 2-x wird zu 2+x).

Es gilt: (a + b)(a - b) = a² - b² (Dritte binomische Formel).

Binomische Formeln

Summe im Quadrat: (a + b)² = a² + b² + 2ab

Differenz im Quadrat: (a - b)² = a² + b² - 2ab

Polynome

Numerischer Wert

Die Variable wird durch den gegebenen Wert ersetzt.

Addition und Subtraktion

Nur gleichartige Monome (gleiche Variablen mit gleichen Exponenten) können addiert oder subtrahiert werden, indem man die Koeffizienten verrechnet.

Multiplikation

Multipliziere jedes Glied des ersten Polynoms mit jedem Glied des zweiten Polynoms (Vorzeichen mit Vorzeichen, Zahlen mit Zahlen, Variablen mit Variablen durch Addition der Exponenten).

Division

1. Ordne Dividende und Divisor nach fallenden Potenzen.
2. Dividiere das erste Glied der Dividende durch das erste Glied des Divisors.
3. Multipliziere den Quotienten mit dem Divisor, kehre die Vorzeichen um und addiere zum Rest.

Faktorisierung

1. Gemeinsamer Faktor: Suche den größten gemeinsamen Teiler aller Terme.
2. Binomische Formeln: Nutze bekannte Identitäten.
3. Regel von Ruffini: Teste Teiler des absoluten Glieds. Ergibt die Division den Rest 0, ist der Wert ein Faktor.

Biquadratische Gleichungen

Lösung durch Substitution: Setze x² = z, um eine quadratische Gleichung zu erhalten.

Gleichungen höheren Grades

Faktorisiere den Ausdruck und setze jeden Faktor einzeln auf 0.