Mathematische Übungen: Algebra, Matrizen und Analysis

1) Altersrätsel

Drei Männer sind zusammen 85 Jahre alt. In fünf Jahren wird die Summe ihrer Alter ... sein. Innerhalb von zwei Jahren wird das mittlere Alter die Hälfte der Summe aus dem aktuellen Alter und dem größten sein. Wie alt ist jeder?

Lösung:

%IMAGE_1%

%IMAGE_2% %IMAGE_3%

2) Matrizenrechnung

Bestimmen Sie die Matrix A, die die Gleichung A - 2B = AB' erfüllt, wobei B = %IMAGE_4% und B' die Transponierte der Matrix B darstellt.

Lösung:

Es gilt: A - 2 %IMAGE_5% = A %IMAGE_6%

Daraus folgt: A - A %IMAGE_7% = %IMAGE_8% %IMAGE_9%

A %IMAGE_10% - %IMAGE_11% = A %IMAGE_12% = %IMAGE_13%

Somit ist A = %IMAGE_14% %IMAGE_15% %IMAGE_16% = %IMAGE_17% %IMAGE_18% = %IMAGE_19%

3) Analyse eines linearen Systems

%IMAGE_20%

Lösung:

Das System kann in Matrixform geschrieben werden:

%IMAGE_21% %IMAGE_22% = %IMAGE_23%

Rang(A) -> %IMAGE_24% = -14; Rang(A) = 3 = Rang(AB)

Dies ist ein kompatibles und bestimmtes System. Die Lösung lautet:

x = %IMAGE_25% = %IMAGE_26%

y = %IMAGE_27% = %IMAGE_28%

z = %IMAGE_29% = 0

4) Optimierung der Lagerkosten

Ein Lager speichert Sonnenblumenöl und Olivenöl. Kunden benötigen mindestens 29 Dosen Sonnenblumenöl und 40 Fässer Olivenöl. Zudem darf die Anzahl der Dosen Olivenöl nicht weniger als die Hälfte der Anzahl der Dosen Sonnenblumenöl betragen. Die Gesamtkapazität beträgt 150 Einheiten. Die Kosten betragen 10 € pro Olivenöl-Container und 5 € pro Sonnenblumenöl-Container. Wie viele Dosen jeder Art müssen gelagert werden, um die Kosten zu minimieren?

Lösung:

Sei: %IMAGE_30%

Zielfunktion: f(x, y) = 10x + 5y

Unter den Nebenbedingungen: %IMAGE_31%

Die Werte der Zielfunktion an den Eckpunkten sind: f(A) = 490, f(B) = 580, f(C) = 1000, f(D) = 1300.

Für minimale Ausgaben benötigen wir 29 Dosen Olivenöl und 40 Dosen Sonnenblumenöl.

5) Immobilienverkauf

Eine Immobilienfirma hat insgesamt 65 Stellplätze in drei verschiedenen Wohngebieten verkauft. Die Erlöse betragen 2.000 € für A, 4.000 € für B und 6.000 € für C. Es wurden 50 % mehr Plätze in A als in C verkauft. Der Gewinn in C entspricht der Summe der Gewinne aus A und B.

Lösung:

Sei: %IMAGE_32%

Wir vereinfachen das Gleichungssystem:

%IMAGE_33% %IMAGE_34% %IMAGE_35%

6) Inverse Matrizen und Gleichungen

Gegeben ist die Matrix A = %IMAGE_36%

a) Finden Sie die Inverse.

b) Lösen Sie die Gleichung XA %IMAGE_37% + 5A = %IMAGE_38%

Lösung:

a) A %IMAGE_39% = %IMAGE_40% = %IMAGE_41%

b) X %IMAGE_42% = %IMAGE_43% - 5 %IMAGE_44% %IMAGE_45%

X %IMAGE_46% = %IMAGE_47% - 5 %IMAGE_48%

X = %IMAGE_49% = %IMAGE_50%

7) Ungleichungssysteme und Minima

a) Zeichnen Sie die Lösungsmenge des Systems: %IMAGE_51%

b) Bestimmen Sie die Eckpunkte der Region.

c) Berechnen Sie das Minimum der Funktion f(x, y) = 3x - y.

Lösung:

b) A = %IMAGE_52% -> A(1,1); B = %IMAGE_53% -> B(2, %IMAGE_54%); C = %IMAGE_55% -> C(4, -1); D = %IMAGE_56% -> D(3, -2)

c) f(A) = 2, f(B) = 4,5, f(C) = 13, f(D) = 11. Das Minimum liegt bei Punkt A(1,1) mit einem Wert von 2.

8) Gewinn- und Verlustrechnung

Die Gewinn- und Verlustrechnung (in Millionen Euro) einer Gesellschaft wird durch die Funktion Y = %IMAGE_57% in Abhängigkeit von den Jahren x beschrieben.

a) Seit welchem Jahr macht die Gesellschaft Verluste?

b) Wann erreicht das Unternehmen den maximalen Gewinn?

Lösung:

a) Das Unternehmen macht Verluste, wenn die Funktion negativ ist. Da x die Jahre des Bestehens sind, ist die Funktion negativ, wenn der Zähler negativ ist, also im ersten Jahr (x = 1).

b) %IMAGE_60% verschwindet, wenn der Zähler %IMAGE_61% %IMAGE_62% null ist. Da die Funktion bei x = 7 ein Maximum erreicht, beträgt der maximale Nutzen: %IMAGE_63%

9) Absolute Extrema und Stetigkeit

a) Berechnen Sie das absolute Maximum und Minimum von f(x) = %IMAGE_64% im Intervall [1,4].

b) Untersuchen Sie die Stetigkeit im Intervall [0,4] für f(x) = %IMAGE_65% %IMAGE_66%

Lösung:

a) f'(x) = 3x %IMAGE_67% 12x - 9. Bei x = 3 liegt ein Minimum vor. f(1) = f(4) = 5, bei x = 4 liegt ein Maximum.

b) Die Funktion ist innerhalb der Intervalle stetig. Am Punkt %IMAGE_69% %IMAGE_70% ist die Funktion ebenfalls stetig auf [0,4]" } ].