Potenciação, Divisibilidade und Frações

Potenzierung

Die Potenzierung ist eine Multiplikation mit gleichen Faktoren. Z. B.: 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2⁵ (oben: Exponent, unten: Basis). Der Exponent zeigt, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert wird.

Beispiele:

• 4³ = 4 · 4 · 4 = 64
• 8⁵ = 8 · 8 · 8 · 8 · 8
• Basis 0, Exponent 9: 0⁹ = 0
• Exponent 0 ergibt immer 1, z. B. 2⁰ = 1

Potenzen addieren und subtrahieren

Potenzen können nur addiert oder subtrahiert werden, wenn sie das gleiche Ergebnis haben. Beispiel: 3 · 2⁴ + 2⁵ = 3 · 16 + 32 = 48 + 32 = 80.

Potenzgesetze

• Multiplikation mit gleicher Basis: Die Exponenten werden addiert, z. B. 10⁴ · 10³ = 10⁷.
• Division mit gleicher Basis: Die Exponenten werden subtrahiert, z. B. 2⁶ : 2² = 2^6-2 = 2⁴.
• Potenz einer Potenz: Die Exponenten werden multipliziert, z. B. (2⁵)³ = 2¹⁵.

Besondere Fälle

Jede Potenz mit Exponent 1 ist gleich der Basis (z. B. 2¹ = 2). Jede Potenz mit Exponent 0 ist gleich 1 (z. B. 2⁰ = 1).

Teilbarkeit

Eine natürliche Zahl a ist durch eine andere Zahl b teilbar, wenn die Division ohne Rest aufgeht. Beispiel: 427 ist durch 7 teilbar, da 427 : 7 = 61 ohne Rest.

Teilbarkeitsregeln

• 2: Die Zahl endet auf 0, 2, 4, 6 oder 8.
• 3: Die Quersumme ist durch 3 teilbar.
• 4: Die letzten zwei Ziffern bilden eine durch 4 teilbare Zahl.
• 5: Die Zahl endet auf 0 oder 5.
• 6: Die Zahl ist durch 2 und 3 teilbar.
• 8: Die letzten drei Ziffern bilden eine durch 8 teilbare Zahl.
• 9: Die Quersumme ist durch 9 teilbar.
• 10: Die Zahl endet auf 0.

Primzahlen und Primfaktorzerlegung

Primzahlen sind natürliche Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind, z. B. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Die Primfaktorzerlegung zerlegt eine zusammengesetzte Zahl in ein Produkt aus Primfaktoren, z. B. 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 2² · 3 · 5.

Vielfache

Die Vielfachen einer Zahl erhält man durch Multiplikation mit natürlichen Zahlen. Die ersten Vielfachen von 7 sind 0, 7, 14, 21, 28.

MMC (kleinstes gemeinsames Vielfaches)

Das MMC ist das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen. Man zerlegt die Zahlen in Primfaktoren und multipliziert jeden Primfaktor in der jeweils höchsten vorkommenden Potenz.

MDC (größter gemeinsamer Teiler)

Der MDC ist die größte natürliche Zahl, die alle betrachteten Zahlen ohne Rest teilt. Beispiel: MDC(12, 18) = 6.

Brüche

Ein Bruch ist eine Zahl der Form a/b mit a als Zähler und b als Nenner.

Arten von Brüchen

• Echte Brüche: Der Zähler ist kleiner als der Nenner, z. B. 5/8.
• Unechte Brüche: Der Zähler ist größer oder gleich dem Nenner, z. B. 9/4.
• Gemischte Zahlen: Eine Kombination aus ganzer Zahl und echtem Bruch, z. B. 2 3/4 = 11/4.

Gleichwertige Brüche

Brüche sind gleichwertig, wenn sie den gleichen Wert haben. Man erhält sie, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert. Beispiel: 1/2 = 2/4.

Kürzen

Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl geteilt, z. B. 24/36 : 2 = 12/18 : 2 = 6/9 : 3 = 2/3.

Gleichnamig machen

Zur Addition oder zum Vergleich werden Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht. Dieser ist das MMC der Nenner.

Vergleich von Brüchen

Haben zwei Brüche den gleichen Nenner, ist der Bruch mit dem kleineren Zähler der kleinere. Haben sie den gleichen Zähler, ist der Bruch mit dem größeren Nenner der kleinere.

Addition und Subtraktion

Bei gleichem Nenner werden die Zähler addiert bzw. subtrahiert, der Nenner bleibt erhalten. Bei verschiedenen Nennern werden die Brüche zuerst gleichnamig gemacht.

Multiplikation

Bei der Multiplikation werden Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert: a/b · c/d = (a·c)/(b·d).