Schwingungen und Wellen: Formeln, Gleichungen und Grundlagen der Physik

Mechanische Schwingungen

MAS: Bruchdehnung

Elongation: y = A · sin(ωt + φ₀)

Geschwindigkeit (m/s): v = ω · √(A² − y²), maximal: v_max = ω · A

Beschleunigung (m/s²): a = −ω² · y

Kraft (N): F = −m · ω² · y

Potentielle Energie (erg): E_p = (1/2) · k · y²

Kinetische Energie (erg): E_c = (1/2) · m · v² = (1/2) · k · (A² − y²)

Gesamtenergie (erg): E_c + E_p = E_total

Harmonische Wellen

Wellenlänge (m): λ = v · T = v / f

Periodendauer (s): T = 2π / ω

Wellenzahl (m⁻¹): k = 2π / λ

Frequenz (Hz): f = 1 / T = ω / 2π

Phasendifferenz (rad): Δφ = k(x₂ − x₁) = ω(t₂ − t₁)

Phasengeschwindigkeit: v_p = ω / k

Schwingungsgeschwindigkeit (abhängig von t): v = A · ω · cos(ωt − kx + φ₀)

Beschleunigung (abhängig von v): a = −A · ω² · sin(ωt + φ₀)

Wellengleichung: y = A · sin(ωt − kx + φ₀)

Leistung: P = (1/2) · ρ · v · ω² · A²

Intensität: I = (1/2) · ρ · v · ω² · A²

Energie: E = (1/2) · m · ω² · A²

Überlagerung von Wellen in gleicher Richtung

Gleiche Periode T sowie gleiche Amplitude und Phase:

y₁ = A₁ · sin(ωt + φ₁); y₂ = A₂ · sin(ωt + φ₂); y₃ = A₃ · sin(ωt + φ)

tan(φ) = (A₁ · sin(φ₁) + A₂ · sin(φ₂)) / (A₁ · cos(φ₁) + A₂ · cos(φ₂))

A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂ · cos(φ₁ − φ₂)

Sonderfälle:

• Gleiche Phase (φ₁ = φ₂ = 0): A = A₁ + A₂, tan(φ) = 0
• Phasendifferenz π/2: A² = A₁² + A₂², tan(φ) = A₂ / A₁
• Gegenphase (φ₂ = π): A = |A₁ − A₂|, tan(φ) = 0

Überlagerung senkrecht zueinander stehender Schwingungen

Gleiche Periode T und Kreisfrequenz ω:

x₁ = A₁ · sin(ωt); y₂ = A₂ · sin(ωt + Δφ)

(y² / A₂²) + (x² / A₁²) − (2xy / (A₁A₂)) · cos(Δφ) = sin²(Δφ)

Sonderfälle:

• Phasendifferenz 0 (Δφ = 0): y = x · (A₂ / A₁) (Gerade)
• Phasendifferenz π/2 (Quadratur): (y² / A₂²) + (x² / A₁²) = 1 (Ellipse)
• Gegenphase (Δφ = π): y = −x · (A₂ / A₁) (Gerade)

Überlagerung gegenläufiger Wellen (stehende Wellen)

Fall 1: ohne Phasenverschiebung

y₁ = A · sin(ωt − kx), y₂ = A · sin(ωt + kx)

y₃ = 2A · cos(kx) · sin(ωt)

Bauch (Schwingungsmaximum): A_max = 2A, kx = nπ, x = n · (λ / 2)

Knoten (keine Schwingung): A_max = 0, kx = (2n + 1) · (π / 2), x = (2n + 1) · (λ / 4)

Fall 2: mit Phasenverschiebung: analog, mit entsprechend angepassten Phasenwinkeln.

Spiegel

Brennweite: f = R / 2

Vergrößerung: β = y' / y = −s' / s

Abbildungsgleichung: (1 / s') + (1 / s) = (1 / f)

Elektromagnetische Wellen

Wellenlänge: λ = c / f = c · T

Vakuumlichtgeschwindigkeit: c = 3 · 10⁸ m/s

Polarisation: Die elektrische und magnetische Komponente (B: magnetisch) stehen senkrecht zueinander und zur Ausbreitungsrichtung.