Standardfehler-Ellipse: Berechnung und Wahrscheinlichkeit

Standardfehler-Ellipse im Ursprung

Die Standardfehler-Ellipse wird angewendet, wenn die zufälligen Fehler in der Lagegenauigkeit konzentriert sind. Es gibt zwei wesentliche Methoden zur Bestimmung:

1. Berechnung über den Drehwinkel θ

Hierbei wird die Kovarianzmatrix geprüft und passende Terme verwendet:

• 1) σ_x'² = σ_x² · cos²(θ) + 2 · σ_xy · sin(θ) · cos(θ) + σ_y² · sin²(θ)
• 2) σ_y'² = σ_x² · sin²(θ) - 2 · σ_xy · sin(θ) · cos(θ) + σ_y² · cos²(θ)
• 3) σ_x'y' = (σ_y² - σ_x²) · sin(θ) · cos(θ) + σ_xy · (cos²(θ) - sin²(θ))

Zur Beseitigung von θ gilt: tan(2θ) = (2 · σ_xy) / (σ_x² - σ_y²).

2. Diagonalisierung der Kovarianzmatrix

Verwendung der Diagonalmatrix der Kovarianzparameter (σ_xx). Wenn A eine quadratische Matrix (n×n) ist, müssen die Eigenwerte (λ) gefunden werden, welche die Bedingung (A - λI)x = 0 bzw. die charakteristische Gleichung |A - λI| = 0 erfüllen.

Diese Eigenwerte λ₁, λ₂, ... λ_n bestimmen die Form und die Achsen der Ellipse. Der Winkel θ wird mit der zuvor genannten Gleichung berechnet.

Wahrscheinlichkeit der Fehlerellipse

Zufällige Fehler in x und y, die unkorreliert sind, werden durch eine Rotation um den Winkel θ in korrelierte Fehler transformiert. Angenommen ρ = 0, dann beschreibt die Gleichung [(x / σ_x)² + (y / σ_y)² = c²] die Ellipse.

Da x und y unabhängige, normalverteilte Zufallsvariablen sind, folgt die Variable [u = (x' / σ_x')² + (y' / σ_y')²] einer Chi-Quadrat-Verteilung mit 2 Freiheitsgraden. Die Dichtefunktion lautet f(u) = (e^-u/2) / 2.

Die Wahrscheinlichkeit P, dass die Position innerhalb der Ellipse liegt, berechnet sich aus:

P = 1 - e^-c2/2

Daraus ergeben sich die Halbachsen: a = c · σ_x' und b = c · σ_y', wobei c = √(-2 · ln(1 - P)).

Familie der Standardfehler-Ellipsen

Die allgemeine Gleichung, die alle zentrierten Fehlerellipsen um den Ursprung repräsentiert, lautet:

[(x / σ_x)² - 2ρ(x / σ_x) · (y / σ_y) + (y / σ_y)² = (1 - ρ²) · c²]

Wenn c = 1 gesetzt wird, erhält man die Standardfehler-Ellipse. Die Größe und Ausrichtung der Ellipsen hängen von den Parametern σ_x, σ_y und ρ ab. In der Topographie wird dies genutzt, um Konfidenzintervalle zu bestimmen und die Genauigkeit von Messpunkten zu bewerten.