Statistische Kennzahlen: Zentralisierung und Dispersion

Maßnahmen der Zentralisierung

Sie geben an, welchen Wert (die Mitte) verteilte Daten haben.

Positionsmaße

Positionsmaße teilen einen Datensatz in Gruppen mit der gleichen Anzahl von Individuen auf. Um diese zu berechnen, ist es notwendig, dass die Daten vom niedrigsten zum höchsten Wert sortiert sind.

Dispersionsmaße

Dispersionsmaße geben an, wie weit die Werte von der Mitte der Verteilung entfernt sind.

Arten der Zentralisierungsmaße

a. Modus

Der Modus ist der Wert mit der größten absoluten Häufigkeit. Er wird durch Mo dargestellt und kann für qualitative und quantitative Variablen bestimmt werden.

Beispiel für die Bestimmung des Modus:

• 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 → Mo = 4

Wenn eine Gruppe zwei oder mehr Werte mit der gleichen maximalen Häufigkeit hat, ist die Verteilung bi- oder multimodal (sie hat mehrere Moden):

• 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 → Mo = 1, 5, 9

Haben alle Punkte einer Gruppe die gleiche Häufigkeit, existiert kein Modus (z. B. 2, 2, 3, 3, 6, 6, 9, 9).

b. Median

Der Median ist der Wert, der in der Mitte aller Daten liegt, wenn diese vom niedrigsten zum höchsten sortiert sind. Er wird durch Me dargestellt und kann nur für quantitative Variablen berechnet werden.

1. Daten vom kleinsten zum größten sortieren.
2. Bei einer ungeraden Anzahl von Werten ist der Median der mittlere Wert. (Beispiel: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 → Me = 5)
3. Bei einer geraden Anzahl von Werten ist der Median der Mittelpunkt zwischen den beiden mittleren Werten. (Beispiel: 7, 8, 9, 10, 11, 12 → Me = 9,5)

c. Arithmetisches Mittel

Das arithmetische Mittel ist der Wert, der durch Addition aller Daten und Division des Ergebnisses durch die Gesamtzahl der Daten gewonnen wird. Es wird durch das Symbol x̄ dargestellt.

Positionsmaße: Quartile, Dezile und Perzentile

• Quartile: Die drei Werte, die einen geordneten Datensatz in vier gleiche Teile teilen.
• Dezile: Die neun Werte, die einen Datensatz in zehn gleiche Teile teilen.
• Perzentile: Die 99 Werte, die einen Datensatz in 100 gleiche Teile teilen.

Dispersionsmaße

a. Abweichung vom Mittelwert

Die Abweichung vom Mittelwert ist der Unterschied zwischen dem einzelnen Variablenwert und dem arithmetischen Mittel: Di = x - x̄.

Durchschnittliche Abweichung

Die durchschnittliche Abweichung ist das arithmetische Mittel der absoluten Werte der Abweichungen vom Mittelwert. Sie wird durch MD dargestellt.